Страница 156 номер 335, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Пусть распределение случайной величины \(X\) симметрично относительно числа \(a\). По определению это значит, что вместе с каждым значением \(a - t\) величина принимает и значение \(a + t\), причём вероятности этих двух значений равны.

Разобьём все значения величины \(X\) на такие симметричные пары. Пусть пар получилось \(m\): значения \(a - t_1\) и \(a + t_1\) имеют одну и ту же вероятность \(p_1\), значения \(a - t_2\) и \(a + t_2\) — одну и ту же вероятность \(p_2\), и так далее до значений \(a - t_m\) и \(a + t_m\) с вероятностью \(p_m\). Кроме них у величины может быть ещё одно значение — само число \(a\): оно симметрично самому себе и в пару ни с чем не входит. Обозначим его вероятность \(p_0\); если такого значения у величины нет, считаем \(p_0 = 0\).

Вклад одной пары в сумму, которой задано математическое ожидание, равен \[(a - t_k)p_k + (a + t_k)p_k = ap_k - t_kp_k + ap_k + t_kp_k = 2ap_k.\]

Слагаемые с \(t_k\) уничтожились именно потому, что вероятности парных значений равны. Сложив вклады всех пар и вклад самого значения \(a\), равный \(ap_0\), получим \[\mathrm{E}X = 2ap_1 + 2ap_2 + \ldots + 2ap_m + ap_0 = a \cdot (2p_1 + 2p_2 + \ldots + 2p_m + p_0).\]

В скобках стоит сумма вероятностей всех значений величины \(X\): каждая пара дала \(p_k + p_k = 2p_k\), а отдельное значение \(a\) дало \(p_0\). Сумма вероятностей всех значений случайной величины равна 1, поэтому \(\mathrm{E}X = a \cdot 1 = a\), что и требовалось доказать.

Ответ: если распределение случайной величины \(X\) симметрично относительно числа \(a\), то \(\mathrm{E}X = a\).