Страница 156 номер 334, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(a\). Докажите, что математическое ожидание случайной величины \(Y = X\) равно \(a\).
Пусть распределение величины \(X\) такое: \[X \sim \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \ldots \\ p_1 & p_2 & p_3 & \ldots \end{pmatrix}, \quad \mathrm{E}X = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \ldots = a.\]
Равенство \(Y = X\) значит, что в каждом исходе опыта \(Y\) принимает то же значение, что и \(X\): значения у величин те же, событие \(Y = x_k\) — это событие \(X = x_k\), и \(\mathrm{P}(Y = x_k) = p_k\). Значит, распределения величин \(X\) и \(Y\) совпадают.
Математическое ожидание вычисляется только по распределению, а суммы у величин \(X\) и \(Y\) составлены из одних и тех же чисел в одном порядке, поэтому \[\mathrm{E}Y = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \ldots = \mathrm{E}X = a.\]
Ответ: математическое ожидание величины \(Y = X\) равно \(a\), потому что у величин \(X\) и \(Y\) одно и то же распределение, а математическое ожидание определяется распределением.
Случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(a\). Докажите, что математическое ожидание случайной величины \(Y = X\) равно \(a\).
Пусть распределение величины \(X\) такое: \[X \sim \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \ldots \\ p_1 & p_2 & p_3 & \ldots \end{pmatrix}.\]
По определению математического ожидания \(\mathrm{E}X = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \ldots = a\).
Равенство \(Y = X\) означает, что в каждом исходе опыта величина \(Y\) принимает то же самое значение, что и величина \(X\). Значит, у величины \(Y\) те же значения \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(\ldots\), а событие \(Y = x_k\) — это то же самое событие, что и \(X = x_k\), поэтому вероятности у них одинаковые: \(\mathrm{P}(Y = x_k) = \mathrm{P}(X = x_k) = p_k\). Следовательно, распределение величины \(Y\) совпадает с распределением величины \(X\): \[Y \sim \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \ldots \\ p_1 & p_2 & p_3 & \ldots \end{pmatrix}.\]
Математическое ожидание вычисляется только по распределению: это сумма произведений значений на их вероятности. У величин \(X\) и \(Y\) такие суммы составлены из одних и тех же чисел и в одном и том же порядке, поэтому \[\mathrm{E}Y = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \ldots = \mathrm{E}X = a.\]
Ответ: математическое ожидание величины \(Y = X\) равно \(a\), потому что у величин \(X\) и \(Y\) одно и то же распределение, а математическое ожидание определяется распределением.
