Страница 157 номер 337, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Вычислять не придётся: если распределение величины \(X\) симметрично относительно числа \(a\), то \(\mathrm{E}X = a\); остаётся найти центр симметрии каждого распределения.
а) Распределение величины \(X\): \[X \sim \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]
Значения \(-4\) и 4 отстоят от нуля на 4 в разные стороны, вероятности у них одинаковые — по \(0{,}5\): распределение симметрично относительно числа 0, поэтому \(\mathrm{E}X = 0\).
б) Распределение величины \(X\): \[X \sim \begin{pmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Значения \(-2\) и 4 отстоят от числа 1 на 3 в разные стороны, вероятности у них по \(0{,}3\); само число 1 — тоже значение величины и стоит в центре: распределение симметрично относительно числа 1, поэтому \(\mathrm{E}X = 1\).
в) Распределение величины \(X\): \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 & 10 & 11 \\ 0{,}05 & 0{,}25 & 0{,}4 & 0{,}25 & 0{,}05 \end{pmatrix}.\]
Значения 1 и 11 отстоят от числа 6 на 5 в разные стороны, вероятности у них по \(0{,}05\); значения 2 и 10 отстоят на 4, вероятности у них по \(0{,}25\); само число 6 стоит в центре: распределение симметрично относительно числа 6, поэтому \(\mathrm{E}X = 6\).
Ответ: а) \(\mathrm{E}X = 0\); б) \(\mathrm{E}X = 1\); в) \(\mathrm{E}X = 6\).
Математическое ожидание каждой из трёх величин нужно найти без вычислений, и такой ход даёт симметрия распределения: если распределение случайной величины симметрично относительно числа \(a\), то её математическое ожидание равно \(a\). Значит, складывать произведения значений на вероятности не придётся — достаточно у каждого распределения найти центр симметрии, убедившись, что значения расположены симметрично относительно него, а равноудалённые от него значения имеют равные вероятности.
а) Величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]
Значения \(-4\) и 4 отстоят от нуля на 4 в разные стороны, а вероятности у них одинаковые — по \(0{,}5\). Значит, распределение симметрично относительно числа 0, и потому \(\mathrm{E}X = 0\).
б) Величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Значения \(-2\) и 4 отстоят от числа 1 на 3 в разные стороны, вероятности у них одинаковые — по \(0{,}3\); само число 1 тоже является значением величины и стоит в центре. Значит, распределение симметрично относительно числа 1, и потому \(\mathrm{E}X = 1\).
в) Величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 & 10 & 11 \\ 0{,}05 & 0{,}25 & 0{,}4 & 0{,}25 & 0{,}05 \end{pmatrix}.\]
Значения 1 и 11 отстоят от числа 6 на 5 в разные стороны, вероятности у них одинаковые — по \(0{,}05\); значения 2 и 10 отстоят от числа 6 на 4 в разные стороны, вероятности у них тоже одинаковые — по \(0{,}25\); само число 6 является значением величины и стоит в центре. Значит, распределение симметрично относительно числа 6, и потому \(\mathrm{E}X = 6\).
Ответ: а) \(\mathrm{E}X = 0\); б) \(\mathrm{E}X = 1\); в) \(\mathrm{E}X = 6\).
