Страница 156 номер 332, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
а) Величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
\((-1)^2 = 1\) и \(1^2 = 1\), поэтому у величины \(X^2\) единственное значение 1 с вероятностью \(0{,}7 + 0{,}3 = 1\): \[X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathrm{E}(X^2) = 1 \cdot 1 = 1.\]
б) Величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \end{pmatrix}.\]
\((-2)^2 = 4\), \(0^2 = 0\), \(2^2 = 4\), поэтому у величины \(X^2\) два значения: 0 она принимает ровно тогда, когда \(X = 0\) (вероятность \(0{,}5\)), а 4 — при несовместных \(X = -2\) и \(X = 2\) (вероятность \(0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\)): \[X^2 \sim \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad \mathrm{E}(X^2) = 0 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}5 = 2.\]
Ответ: а) \(\mathrm{E}(X^2) = 1\); б) \(\mathrm{E}(X^2) = 2\).
Величина \(X^2\) — это новая случайная величина: в каждом исходе опыта она принимает значение, равное квадрату значения величины \(X\). Поэтому сначала нужно выписать распределение самой величины \(X^2\), а потом по определению сложить произведения её значений на их вероятности.
а) Величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Оба значения дают один и тот же квадрат: \((-1)^2 = 1\) и \(1^2 = 1\). Значит, величина \(X^2\) принимает единственное значение 1, и вероятность этого значения складывается из вероятностей обоих значений величины \(X\): \(0{,}7 + 0{,}3 = 1\). Распределение величины \(X^2\) состоит из одного столбца: \[X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.\]
Математическое ожидание величины \(X^2\) равно \(\mathrm{E}(X^2) = 1 \cdot 1 = 1\).
б) Величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \end{pmatrix}.\]
Квадраты значений равны \((-2)^2 = 4\), \(0^2 = 0\) и \(2^2 = 4\), поэтому у величины \(X^2\) два значения — 0 и 4. Значение 0 величина \(X^2\) принимает ровно тогда, когда \(X = 0\), и его вероятность равна \(0{,}5\). Значение 4 получается из двух разных значений величины \(X\): события \(X = -2\) и \(X = 2\) несовместны, поэтому его вероятность равна \(0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\). Распределение величины \(X^2\): \[X^2 \sim \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]
Математическое ожидание величины \(X^2\) равно \(\mathrm{E}(X^2) = 0 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}5 = 2\).
Ответ: а) \(\mathrm{E}(X^2) = 1\); б) \(\mathrm{E}(X^2) = 2\).
