Страница 156 номер 330, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Буквами \(x\) и \(y\) в распределении величины \(Z\) обозначены две неизвестные вероятности. Уравнений для них тоже два: сумма вероятностей всех значений равна 1, а математическое ожидание по условию равно 2. По одному только математическому ожиданию неизвестные вероятности не находятся.

а) Распределение величины \(Z\): \[Z \sim \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ x & y \end{pmatrix}.\]

Сумма вероятностей даёт первое уравнение \(x + y = 1\), а математическое ожидание \(\mathrm{E}Z = -1 \cdot x + 4 \cdot y = -x + 4y\) — второе. Получилась система \[\begin{cases} x + y = 1, \\ -x + 4y = 2. \end{cases}\]

Сложив уравнения, получаем \(5y = 3\), откуда \(y = 0{,}6\), и тогда \(x = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\). Обе найденные вероятности лежат между 0 и 1, как и должно быть.

Проверка: \(\mathrm{E}Z = -1 \cdot 0{,}4 + 4 \cdot 0{,}6 = -0{,}4 + 2{,}4 = 2\).

б) Распределение величины \(Z\): \[Z \sim \begin{pmatrix} -2 & 1 & 9 \\ x & y & 0{,}2 \end{pmatrix}.\]

Третья вероятность известна и входит в оба уравнения. Сумма вероятностей: \(x + y + 0{,}2 = 1\), то есть \(x + y = 0{,}8\). Математическое ожидание: \(\mathrm{E}Z = -2x + 1 \cdot y + 9 \cdot 0{,}2 = -2x + y + 1{,}8\), и по условию оно равно 2, то есть \(-2x + y = 0{,}2\). Получилась система \[\begin{cases} x + y = 0{,}8, \\ -2x + y = 0{,}2. \end{cases}\]

Вычтем из первого уравнения второе: \(3x = 0{,}6\), откуда \(x = 0{,}2\), и тогда \(y = 0{,}8 - 0{,}2 = 0{,}6\).

Проверка: \(0{,}2 + 0{,}6 + 0{,}2 = 1\) и \(\mathrm{E}Z = -2 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}6 + 9 \cdot 0{,}2 = -0{,}4 + 0{,}6 + 1{,}8 = 2\).

Ответ: а) \(x = 0{,}4\), \(y = 0{,}6\); б) \(x = 0{,}2\), \(y = 0{,}6\).