Страница 150 номер 328, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
В некоторой стране 85 % населения резус-положительны. Найдите вероятность того, что в случайной выборке из 50 человек резус-положительных менее 49.
Дано:
\(n = 50\) — число человек в выборке
\(p = 0{,}85\) — доля резус-положительных в стране
\(X\) — число резус-положительных в выборке
Найти: \(\mathrm{P}(X < 49)\).
Решение:
Выборка мала по сравнению со всем населением страны, поэтому людей в ней считаем независимыми, а вероятность встретить резус-положительного — одной и той же: \(p = 0{,}85\), \(q = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\). Значит, \(X \sim Bi(50;\ 0{,}85)\) и \(\mathrm{P}(X = k) = C_{50}^k \cdot 0{,}85^k \cdot 0{,}15^{\,50-k}\).
Событие \(X < 49\) значит, что резус-положительных не больше 48; противоположное ему — «резус-положительных 49 или 50», то есть несовместные события \(X = 49\) и \(X = 50\). \[\mathrm{P}(X < 49) = 1 - \mathrm{P}(X = 49) - \mathrm{P}(X = 50).\]
Так как \(C_{50}^{49} = 50\) и \(C_{50}^{50} = 1\), то \(\mathrm{P}(X = 49) = 50 \cdot 0{,}85^{49} \cdot 0{,}15 = 7{,}5 \cdot 0{,}85^{49}\) и \(\mathrm{P}(X = 50) = 0{,}85^{50} = 0{,}85 \cdot 0{,}85^{49}\), а их сумма сворачивается в одну степень: \[7{,}5 \cdot 0{,}85^{49} + 0{,}85 \cdot 0{,}85^{49} = (7{,}5 + 0{,}85) \cdot 0{,}85^{49} = 8{,}35 \cdot 0{,}85^{49}.\]
Степень \(0{,}85^{49}\) находим последовательным возведением в квадрат: \[\begin{aligned} &0{,}85^2 = 0{,}7225, \quad 0{,}85^4 = 0{,}7225^2 = 0{,}52200625, \\ &0{,}85^8 = 0{,}52200625^2 \approx 0{,}27249053, \quad 0{,}85^{16} \approx 0{,}27249053^2 \approx 0{,}07425109, \\ &0{,}85^{32} \approx 0{,}07425109^2 \approx 0{,}00551322. \end{aligned}\]
Так как \(49 = 32 + 16 + 1\), то \(0{,}85^{49} = 0{,}85^{32} \cdot 0{,}85^{16} \cdot 0{,}85 \approx 0{,}00551322 \cdot 0{,}07425109 \cdot 0{,}85 \approx 0{,}00034796\), а сумма двух вероятностей равна \(8{,}35 \cdot 0{,}00034796 \approx 0{,}00290547\). Значит, \[\mathrm{P}(X < 49) \approx 1 - 0{,}00290547 = 0{,}99709453 \approx 0{,}997.\]
Ответ: \(\mathrm{P}(X < 49) \approx 0{,}997\).
В некоторой стране 85 % населения резус-положительны. Найдите вероятность того, что в случайной выборке из 50 человек резус-положительных менее 49.
Дано:
\(n = 50\) — число человек в выборке
\(p = 0{,}85\) — доля резус-положительных в стране
\(X\) — число резус-положительных в выборке
Найти: \(\mathrm{P}(X < 49)\).
Решение:
Выборка случайна и мала по сравнению со всем населением страны, поэтому людей в ней считаем независимыми друг от друга, а вероятность того, что случайно выбранный человек резус-положителен, одной и той же: \(p = 0{,}85\). Тогда вероятность того, что он резус-отрицателен, равна \(q = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\).
Значит, \(X\) — это число успехов в серии из \(n = 50\) испытаний Бернулли, то есть \(X \sim Bi(50;\ 0{,}85)\), и \(\mathrm{P}(X = k) = C_{50}^k \cdot 0{,}85^k \cdot 0{,}15^{\,50-k}\).
Событие \(X < 49\) значит, что резус-положительных не больше 48. Противоположное ему событие — «резус-положительных 49 или 50», то есть \(X = 49\) или \(X = 50\); эти два события несовместны. Поэтому \[\mathrm{P}(X < 49) = 1 - \mathrm{P}(X = 49) - \mathrm{P}(X = 50).\]
Так как \(C_{50}^{49} = 50\) и \(C_{50}^{50} = 1\), получаем \(\mathrm{P}(X = 49) = 50 \cdot 0{,}85^{49} \cdot 0{,}15 = 7{,}5 \cdot 0{,}85^{49}\) и \(\mathrm{P}(X = 50) = 0{,}85^{50} = 0{,}85 \cdot 0{,}85^{49}\). Сумма этих вероятностей сворачивается в одну степень: \[7{,}5 \cdot 0{,}85^{49} + 0{,}85 \cdot 0{,}85^{49} = (7{,}5 + 0{,}85) \cdot 0{,}85^{49} = 8{,}35 \cdot 0{,}85^{49}.\]
Степень \(0{,}85^{49}\) находим последовательным возведением в квадрат: \[\begin{aligned} &0{,}85^2 = 0{,}7225, \quad 0{,}85^4 = 0{,}7225^2 = 0{,}52200625, \\ &0{,}85^8 = 0{,}52200625^2 \approx 0{,}27249053, \quad 0{,}85^{16} \approx 0{,}27249053^2 \approx 0{,}07425109, \\ &0{,}85^{32} \approx 0{,}07425109^2 \approx 0{,}00551322. \end{aligned}\]
Так как \(49 = 32 + 16 + 1\), получаем \(0{,}85^{49} = 0{,}85^{32} \cdot 0{,}85^{16} \cdot 0{,}85 \approx 0{,}00551322 \cdot 0{,}07425109 \cdot 0{,}85 \approx 0{,}00034796\), а сумма двух вероятностей равна \(8{,}35 \cdot 0{,}00034796 \approx 0{,}00290547\). Значит, \[\mathrm{P}(X < 49) \approx 1 - 0{,}00290547 = 0{,}99709453 \approx 0{,}997.\]
Ответ: \(\mathrm{P}(X < 49) \approx 0{,}997\).
