Страница 157 номер 338, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(p = 0{,}01\) — вероятность страхового случая с одним клиентом
\(100\,000\) р. — страховая выплата при наступлении страхового случая
\(1000\) р. — наименьший средний доход компании с одного клиента
Найти: минимальную стоимость страховки.
Решение:

Случайная величина \(X\) — «страховая выплата одному клиенту», в рублях. Страховой случай происходит с вероятностью \(0{,}01\), и тогда компания выплачивает \(100\,000\) р.; страхового случая не происходит с вероятностью \(1 - 0{,}01 = 0{,}99\), и тогда выплата равна 0. Распределение величины \(X\): \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 100\,000 \\ 0{,}99 & 0{,}01 \end{pmatrix}.\]

Средняя выплата на одного клиента — это математическое ожидание величины \(X\): \(\mathrm{E}X = 0 \cdot 0{,}99 + 100\,000 \cdot 0{,}01 = 1000\) (р.).

Обозначим буквой \(s\) стоимость страховки в рублях. Доход компании с одного клиента — случайная величина \(Y\) «доход с одного клиента»: стоимость страховки компания получает всегда, а при страховом случае ещё и выплачивает \(100\,000\) р. Значит, величина \(Y\) принимает значение \(s - 100\,000\) с вероятностью \(0{,}01\) и значение \(s\) с вероятностью \(0{,}99\): \[Y \sim \begin{pmatrix} s - 100\,000 & s \\ 0{,}01 & 0{,}99 \end{pmatrix}.\]

Средний доход с одного клиента равен \[\mathrm{E}Y = (s - 100\,000) \cdot 0{,}01 + s \cdot 0{,}99 = 0{,}01s - 1000 + 0{,}99s = s - 1000.\]

По смыслу это и означает: в среднем компания получает стоимость страховки за вычетом средней выплаты.

По условию средний доход должен быть не меньше \(1000\) р., поэтому \(s - 1000 \geqslant 1000\), откуда \(s \geqslant 2000\). Наименьшее подходящее значение равно \(2000\).

Ответ: минимальная стоимость страховки — \(2000\) р.