Вопросы после параграфа §22 на странице 108, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Комбинаторное правило умножения. Если множество \(A\) содержит \(n\) элементов, а множество \(B\) содержит \(k\) элементов, то множество всех упорядоченных пар \((a,\ b)\), где \(a \in A\), \(b \in B\), состоит из \(nk\) элементов. Множество упорядоченных пар называется декартовым произведением множеств \(A\) и \(B\) и обозначается \(A \times B\).

Пара упорядоченная: в ней важно, какой элемент стоит первым, а какой вторым, причём первый всегда берётся из множества \(A\), а второй — из множества \(B\). Пара однозначно задаётся своими элементами, поэтому разным выборам отвечают разные пары.

Например, при бросании двух игральных кубиков каждый кубик даёт одно из шести чисел, и упорядоченных пар очков получается \(6 \cdot 6 = 36\).

Ответ: если множество \(A\) содержит \(n\) элементов, а множество \(B\) содержит \(k\) элементов, то упорядоченных пар \((a,\ b)\), где \(a \in A\), \(b \in B\), ровно \(nk\); множество этих пар называется декартовым произведением \(A \times B\).

Факториалом натурального числа \(n\) называется число \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\), то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\). То же произведение можно записать в обратном порядке: \(n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1\).

Например, \(4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\), \(6! = 720\).

Факториал нуля равен единице: \(0! = 1\). Это равенство принято по определению — оно не выводится из произведения, а задаёт значение \(0!\), потому что факториал нуля участвует во многих вычислениях.

Ответ: факториал натурального числа \(n\) — это число \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\), произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\); факториал нуля по определению равен 1: \(0! = 1\).

Пусть \(n \geqslant 5\). Тогда среди множителей произведения \(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\) есть и число 2, и число 5. Значит, произведение делится на \(2 \cdot 5 = 10\), а всякое число, которое делится на 10, оканчивается цифрой 0. Поэтому нулём оканчивается и \(n!\) при любом \(n \geqslant 5\).

Одной делимости на 5 для такого вывода не хватило бы: число, делящееся на 5, оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 (скажем, 15). Нужен именно множитель 10, а он появляется, как только в произведение попадают оба числа — 2 и 5, то есть начиная с \(n = 5\).

При \(n < 5\) множителя 5 в произведении нет, и нулём такие факториалы не оканчиваются: \(1! = 1\), \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(4! = 24\).

Ответ: при \(n \geqslant 5\) произведение \(1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\) содержит и множитель 2, и множитель 5, поэтому делится на \(2 \cdot 5 = 10\), а число, делящееся на 10, оканчивается цифрой 0.

В шеренге важно, кто за кем стоит, поэтому способ построения — это упорядочивание людей, то есть перестановка множества из \(k\) человек; люди попарно различны, и разным перестановкам отвечают разные шеренги.

Число перестановок множества из \(k\) элементов равно \(k!\): на первое место в шеренге годится любой из \(k\) человек, на второе — любой из оставшихся \(k-1\), на третье — любой из оставшихся \(k-2\) и так далее, а на последнее место встаёт единственный оставшийся человек. По правилу умножения получается \(k \cdot (k-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = k!\) способов.

Например, троих можно выстроить \(3! = 6\) способами, а пятерых — \(5! = 120\) способами.

Ответ: \(k!\) способов.