Страница 100 номер 185, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(B_1\) «ручка изготовлена на первой фабрике», \(\mathrm{P}(B_1) = 0{,}3\)
\(B_2\) «ручка изготовлена на второй фабрике», \(\mathrm{P}(B_2) = 0{,}2\)
\(B_3\) «ручка изготовлена на третьей фабрике», \(\mathrm{P}(B_3) = 0{,}5\)
\(A\) «выбранная ручка бракованная»
доли брака: 2 % у первой фабрики, 1 % у второй, 3 % у третьей

Найти: \(\mathrm{P}(B_2 \mid A)\).

Решение:

Ручку выбирают в магазине случайно, поэтому вероятность того, что она изготовлена на данной фабрике, равна доле продукции этой фабрики: \(\mathrm{P}(B_1) = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(B_2) = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(B_3) = 0{,}5\). Каждая ручка сделана ровно на одной фабрике, поэтому события \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\) попарно несовместны, а их объединение — всё множество элементарных событий опыта.

Ручка не пишет, то есть она бракованная. Доли брака дают условные вероятности \(\mathrm{P}(A \mid B_1) = 0{,}02\), \(\mathrm{P}(A \mid B_2) = 0{,}01\), \(\mathrm{P}(A \mid B_3) = 0{,}03\).

Найдём вероятность события \(A\) по формуле полной вероятности:

\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \mid B_1) \cdot \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(A \mid B_2) \cdot \mathrm{P}(B_2) + \mathrm{P}(A \mid B_3) \cdot \mathrm{P}(B_3) = {} \\ &= 0{,}02 \cdot 0{,}3 + 0{,}01 \cdot 0{,}2 + 0{,}03 \cdot 0{,}5 = 0{,}006 + 0{,}002 + 0{,}015 = 0{,}023. \end{aligned}\]

Теперь по формуле Байеса

\[\mathrm{P}(B_2 \mid A) = \frac{\mathrm{P}(A \mid B_2) \cdot \mathrm{P}(B_2)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}2}{0{,}023} = \frac{0{,}002}{0{,}023} = \frac{2}{23} \approx 0{,}087.\]

Вторая фабрика выпускает 20 % всех ручек, а среди неисправных ручек на её долю приходится только около 8,7 %: брака у неё меньше, чем у двух других фабрик.

Ответ: \(\dfrac{2}{23} \approx 0{,}087\).