Страница 115 номер 219, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
В коробке 12 цветных карандашей разных цветов. Сколькими способами можно выбрать из неё:
а) 2 карандаша; б) 3 карандаша; в) 4 карандаша?
Карандаши попарно различны, а порядок, в котором их вынимают, не важен, поэтому способов выбрать \(k\) карандашей из 12 ровно \(C_{12}^k\).
а) \(C_{12}^2 = \dfrac{12 \cdot 11}{2!} = \dfrac{132}{2} = 66\) — столько способов выбрать 2 карандаша.
б) \(C_{12}^3 = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!} = \dfrac{1320}{6} = 220\) — столько способов выбрать 3 карандаша.
в) \(C_{12}^4 = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4!} = \dfrac{11\,880}{24} = 495\) — столько способов выбрать 4 карандаша.
Проверка: эти числа стоят подряд в строке с номером \(n = 12\) треугольника Паскаля, в столбцах \(k = 2\), \(k = 3\) и \(k = 4\): \(1;\ 12;\ 66;\ 220;\ 495;\ \ldots\)
Ответ: а) \(C_{12}^2 = 66\) способов; б) \(C_{12}^3 = 220\) способов; в) \(C_{12}^4 = 495\) способов.
В коробке 12 цветных карандашей разных цветов. Сколькими способами можно выбрать из неё:
а) 2 карандаша; б) 3 карандаша; в) 4 карандаша?
Карандаши разных цветов, то есть попарно различны. Порядок, в котором их вынимают из коробки, не важен: важно только, какой набор карандашей выбран. Значит, число способов выбрать \(k\) карандашей из 12 равно числу сочетаний \(C_{12}^k\), и считать его будем по формуле числа сочетаний.
а) \(C_{12}^2 = \dfrac{12 \cdot 11}{2!} = \dfrac{132}{2} = 66\) — столько способов выбрать 2 карандаша из 12.
б) \(C_{12}^3 = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!} = \dfrac{1320}{6} = 220\) — столько способов выбрать 3 карандаша из 12.
в) \(C_{12}^4 = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4!} = \dfrac{11\,880}{24} = 495\) — столько способов выбрать 4 карандаша из 12.
Проверка: найденные числа стоят подряд в строке с номером \(n = 12\) треугольника Паскаля — в столбцах \(k = 2\), \(k = 3\) и \(k = 4\). Эта строка начинается так: \(1;\ 12;\ 66;\ 220;\ 495;\ \ldots\)
Ответ: а) \(C_{12}^2 = 66\) способов; б) \(C_{12}^3 = 220\) способов; в) \(C_{12}^4 = 495\) способов.
