Страница 110 номер 210, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить, используя все буквы слова: а) «РЕБРО»; б) «СТАТИСТИКА»?
а) В слове «РЕБРО» пять букв: Р, Е, Б, Р, О — буква Р дважды, остальные три по одному разу.
Будь все пять букв различны, последовательностей было бы \(5! = 120\), но от перестановки двух букв Р последовательность не меняется, и каждая последовательность сосчитана \(2! = 2\) раза: \[\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60.\]
б) В слове «СТАТИСТИКА» десять букв: С, Т, А, Т, И, С, Т, И, К, А — буква Т трижды, буквы С, А и И по два раза каждая, буква К один раз; всего \(3 + 2 + 2 + 2 + 1 = 10\) букв.
Будь все десять букв различны, последовательностей было бы \(10! = 3\,628\,800\). Одинаковые буквы переставимы между собой, и последовательность от этого не меняется: три буквы Т — \(3! = 6\) способами, две буквы С — \(2! = 2\) способами, две буквы А — \(2! = 2\) способами, две буквы И — \(2! = 2\) способами.
Каждая последовательность сосчитана \(3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! = 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 48\) раз, поэтому различных последовательностей \[\frac{10!}{3!\,2!\,2!\,2!} = \frac{3\,628\,800}{48} = 75\,600.\]
Ответ: а) 60; б) \(75\,600\) последовательностей.
Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить, используя все буквы слова: а) «РЕБРО»; б) «СТАТИСТИКА»?
а) В слове «РЕБРО» пять букв: Р, Е, Б, Р, О. Буква Р встречается дважды, остальные три буквы — по одному разу.
Если бы все пять букв были различны, последовательностей было бы \(5! = 120\). Но две буквы Р одинаковы: поменяв их местами, мы получим ту же самую последовательность букв. Значит, каждая последовательность сосчитана среди этих 120 ровно \(2! = 2\) раза, и различных последовательностей вдвое меньше: \[\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60.\]
б) В слове «СТАТИСТИКА» десять букв: С, Т, А, Т, И, С, Т, И, К, А. Буква Т встречается трижды, буквы С, А и И — по два раза каждая, буква К — один раз; всего \(3 + 2 + 2 + 2 + 1 = 10\) букв.
Если бы все десять букв были различны, последовательностей было бы \(10! = 3\,628\,800\). Одинаковые буквы переставимы между собой, и от такой перестановки последовательность не меняется: три буквы Т можно переставить \(3! = 6\) способами, две буквы С — \(2! = 2\) способами, две буквы А — \(2! = 2\) способами и две буквы И — \(2! = 2\) способами. По правилу умножения каждая последовательность сосчитана \(3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! = 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 48\) раз, поэтому различных последовательностей \[\frac{10!}{3!\,2!\,2!\,2!} = \frac{3\,628\,800}{48} = 75\,600.\]
Ответ: а) 60; б) \(75\,600\) последовательностей.
