Страница 103 номер 191, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
События \(A\) и \(B\) независимы и имеют ненулевые вероятности. Следует ли отсюда, что независимы события \(\overline{A}\) и \(B\); что независимы события \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\)?
По условию \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\). Определение независимости требует ненулевых вероятностей, поэтому считаем, что \(\mathrm{P}(A) \neq 1\) и \(\mathrm{P}(B) \neq 1\): иначе \(\mathrm{P}(\overline{A})\) или \(\mathrm{P}(\overline{B})\) равна нулю.
Событие \(B\) распадается на несовместные \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\), поэтому \(\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(\overline{A} \cap B)\) и \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B).\]
Подставим \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\) и учтём, что \(1 - \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(\overline{A})\): \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = {} \\ &= \mathrm{P}(B) \cdot (1 - \mathrm{P}(A)) = \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(B). \end{aligned}\]
Получилось равенство из определения, значит, события \(\overline{A}\) и \(B\) независимы.
Точно так же событие \(\overline{A}\) распадается на несовместные \(\overline{A} \cap B\) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\), поэтому \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = \mathrm{P}(\overline{A}) - \mathrm{P}(\overline{A} \cap B).\]
Подставим найденное \(\mathrm{P}(\overline{A} \cap B)\): \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = \mathrm{P}(\overline{A}) - \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(B) = {} \\ &= \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot (1 - \mathrm{P}(B)) = \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(\overline{B}). \end{aligned}\]
Значит, независимы и события \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\).
Ответ: да, из независимости событий \(A\) и \(B\) следует и независимость событий \(\overline{A}\) и \(B\), и независимость событий \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\).
События \(A\) и \(B\) независимы и имеют ненулевые вероятности. Следует ли отсюда, что независимы события \(\overline{A}\) и \(B\); что независимы события \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\)?
По условию события \(A\) и \(B\) независимы, то есть \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\), и вероятности \(\mathrm{P}(A)\), \(\mathrm{P}(B)\) отличны от нуля. Определение независимости говорит о событиях с ненулевыми вероятностями, поэтому считаем, что \(\mathrm{P}(A) \neq 1\) и \(\mathrm{P}(B) \neq 1\): иначе вероятность события \(\overline{A}\) или \(\overline{B}\) равна нулю.
Событие \(B\) распадается на два несовместных: те благоприятствующие ему исходы, которые благоприятствуют ещё и событию \(A\), образуют событие \(A \cap B\), а остальные — событие \(\overline{A} \cap B\). По формуле сложения вероятностей для несовместных событий \(\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(\overline{A} \cap B)\), поэтому \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B).\]
Подставим сюда \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\), вынесем общий множитель и учтём, что \(1 - \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(\overline{A})\): \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = {} \\ &= \mathrm{P}(B) \cdot (1 - \mathrm{P}(A)) = \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(B). \end{aligned}\]
Получилось равенство из определения независимых событий, значит, события \(\overline{A}\) и \(B\) независимы.
Точно так же событие \(\overline{A}\) распадается на два несовместных — \(\overline{A} \cap B\) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\), — поэтому \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = \mathrm{P}(\overline{A}) - \mathrm{P}(\overline{A} \cap B).\]
Вероятность \(\mathrm{P}(\overline{A} \cap B)\) уже найдена, и остаётся снова вынести общий множитель: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = \mathrm{P}(\overline{A}) - \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(B) = {} \\ &= \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot (1 - \mathrm{P}(B)) = \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(\overline{B}). \end{aligned}\]
Значит, независимы и события \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\).
Ответ: да, из независимости событий \(A\) и \(B\) следует и независимость событий \(\overline{A}\) и \(B\), и независимость событий \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\).
