Страница 99 номер 180, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
В спортивной секции 16 человек, в том числе А. и Б. На занятии случайным образом секцию разделили на две равные группы. Найдите вероятность того, что А. и Б. окажутся в одной группе.
Дано:
в секции 16 человек, среди них А. и Б.
секцию случайно разделили на две группы по 8 человек
\(C\) «А. и Б. оказались в одной группе»
Найти: \(\mathrm{P}(C)\).
Решение:
Гипотезы: \(B_1\) «А. попал в первую группу», \(B_2\) «А. попал во вторую группу»; они несовместны, а их объединение — всё множество элементарных событий опыта. Группы равны, деление случайное, поэтому \[\mathrm{P}(B_1) = \mathrm{P}(B_2) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}.\]
Пусть наступило событие \(B_1\): рядом с А. свободны 7 мест, а всего для Б. свободно \(7 + 8 = 15\) равновозможных мест, поэтому \(\mathrm{P}(C \mid B_1) = \frac{7}{15}\).
При событии \(B_2\) рассуждение дословно то же: 7 мест из 15, поэтому \(\mathrm{P}(C \mid B_2) = \frac{7}{15}\).
\[\mathrm{P}(C) = \mathrm{P}(C \mid B_1) \cdot \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(C \mid B_2) \cdot \mathrm{P}(B_2) = \frac{7}{15} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7}{15} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{15} \approx 0{,}467.\]
Ответ: \(\dfrac{7}{15} \approx 0{,}467\).
В спортивной секции 16 человек, в том числе А. и Б. На занятии случайным образом секцию разделили на две равные группы. Найдите вероятность того, что А. и Б. окажутся в одной группе.
Дано:
в секции 16 человек, среди них А. и Б.
секцию случайно разделили на две группы по 8 человек
\(C\) «А. и Б. оказались в одной группе»
Найти: \(\mathrm{P}(C)\).
Решение:
Обозначим гипотезы: \(B_1\) «А. попал в первую группу», \(B_2\) «А. попал во вторую группу». Эти события несовместны, а их объединение — всё множество элементарных событий опыта, поэтому событие \(C\) в нём содержится. Группы равны по численности, а деление случайное, поэтому
\[\mathrm{P}(B_1) = \mathrm{P}(B_2) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}.\]
Пусть наступило событие \(B_1\). Тогда в первой группе рядом с А. свободны 7 мест, а во второй — все 8; остальные 15 человек занимают эти \(7 + 8 = 15\) мест, и при случайном делении каждое место для Б. равновозможно. Событию \(C\) благоприятствуют 7 мест из 15, поэтому \(\mathrm{P}(C \mid B_1) = \frac{7}{15}\).
Если наступило событие \(B_2\), рассуждение дословно то же: рядом с А. во второй группе свободны 7 мест из 15, поэтому \(\mathrm{P}(C \mid B_2) = \frac{7}{15}\).
По формуле полной вероятности
\[\mathrm{P}(C) = \mathrm{P}(C \mid B_1) \cdot \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(C \mid B_2) \cdot \mathrm{P}(B_2) = \frac{7}{15} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7}{15} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{15} \approx 0{,}467.\]
Ответ: \(\dfrac{7}{15} \approx 0{,}467\).
