Страница 104 номер 194, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Симметричную монету бросили 4 раза, и известно, что по крайней мере один раз выпал орёл. Какова вероятность того, что орёл выпал больше чем 1 раз?
Дано:
монета симметричная, бросков 4
\(B\) «орёл выпал по крайней мере один раз»
\(A\) «орёл выпал больше чем 1 раз»
Найти: \(\mathrm{P}(A \mid B)\) — вероятность события \(A\) при условии \(B\).
Решение:
Исход — последовательность из четырёх букв О и Р, всего их \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\).
Броски независимы, монета симметрична, вероятность каждой последовательности равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\) — все 16 исходов равновозможны.
Орла нет ни разу только в РРРР, ровно один орёл — в четырёх исходах ОРРР, РОРР, РРОР, РРРО, значит, больше одного орла дают остальные \(16 - 1 - 4 = 11\) исходов.
Событию \(B\) благоприятствуют \(16 - 1 = 15\) исходов — все, кроме РРРР: \(\mathrm{P}(B) = \frac{15}{16}\).
При условии \(B\) остаётся 15 равновозможных исходов, из них событию \(A\) благоприятствуют 11: \[\mathrm{P}(A \mid B) = \frac{11}{15} \approx 0{,}733.\]
Проверка: \(A\) входит в \(B\), поэтому \(A \cap B = A\), \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{11}{16}\), и формула условной вероятности даёт то же число: \(\frac{11}{16} : \frac{15}{16} = \frac{11}{15}\).
Ответ: \(\dfrac{11}{15} \approx 0{,}733\).
Симметричную монету бросили 4 раза, и известно, что по крайней мере один раз выпал орёл. Какова вероятность того, что орёл выпал больше чем 1 раз?
Дано:
монета симметричная, бросков 4
\(B\) «орёл выпал по крайней мере один раз»
\(A\) «орёл выпал больше чем 1 раз»
Найти: \(\mathrm{P}(A \mid B)\) — вероятность события \(A\) при условии \(B\).
Решение:
Исход опыта — последовательность из четырёх букв О (орёл) и Р (решка). Всего таких последовательностей \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\). Броски независимы, монета симметрична, поэтому вероятность каждой из них равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\): все 16 исходов равновозможны.
Пересчитаем исходы по числу выпавших орлов. Орла нет ни разу только в одном исходе — РРРР. Ровно один орёл дают четыре исхода: ОРРР, РОРР, РРОР, РРРО — орёл занимает одно из четырёх мест. Значит, больше одного орла дают остальные \(16 - 1 - 4 = 11\) исходов.
Событию \(B\) не благоприятствует только исход РРРР, поэтому ему благоприятствуют \(16 - 1 = 15\) исходов и \(\mathrm{P}(B) = \frac{15}{16}\).
Известно, что событие \(B\) наступило. Теперь всё множество элементарных событий опыта — это 15 равновозможных исходов события \(B\), и событию \(A\) среди них благоприятствуют 11. Поэтому \[\mathrm{P}(A \mid B) = \frac{11}{15} \approx 0{,}733.\]
Проверка: событие \(A\) целиком входит в событие \(B\) — если орёл выпал больше одного раза, то он выпал хотя бы один раз, — поэтому \(A \cap B = A\) и \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{11}{16}\). Формула условной вероятности даёт то же число: \(\mathrm{P}(A \mid B) = \frac{11}{16} : \frac{15}{16} = \frac{11}{15}\).
Ответ: \(\dfrac{11}{15} \approx 0{,}733\).
