Страница 110 номер 212, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько существует различных способов разбить 20 человек на пары?
Выберем любого из 20 человек: в пару ему годится любой из 19 остальных — 19 способов.
Остаются 18 человек: любому из них в пару ставим одного из 17 оставшихся — 17 способов. Дальше остаются 16 человек, потом 14 и так далее, на каждом шаге число способов уменьшается на 2, а последние двое составляют пару единственным способом.
По правилу умножения разбиений \[19 \cdot 17 \cdot 15 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 654\,729\,075.\]
Проверка: выстроим 20 человек в ряд — \(20!\) способами — и объявим парами первого со вторым, третьего с четвёртым и так далее. Внутри каждой из десяти пар двоих можно поменять местами, это \(2^{10} = 1024\) варианта, и сами десять пар расставимы вдоль ряда \(10! = 3\,628\,800\) способами, поэтому каждое разбиение получено \(2^{10} \cdot 10!\) раз: \[\frac{20!}{2^{10} \cdot 10!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot \ldots \cdot 11}{1024} = \frac{670\,442\,572\,800}{1024} = 654\,729\,075.\]
Ответ: \(654\,729\,075\) способов.
Сколько существует различных способов разбить 20 человек на пары?
Выберем любого из 20 человек. В пару ему можно поставить любого из 19 остальных — это 19 способов.
После этого остаётся 18 человек, которых надо разбить на пары, и с ними поступаем точно так же: выбираем любого из этих 18 и ставим ему в пару одного из 17 оставшихся — 17 способов. Дальше остаются 16 человек, потом 14 и так далее: на каждом шаге число способов уменьшается на 2, а последние двое составляют пару единственным способом.
Все эти выборы независимы, и по правилу умножения число разбиений равно \[19 \cdot 17 \cdot 15 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 654\,729\,075.\]
Проверка: сосчитаем разбиения вторым способом. Выстроим 20 человек в ряд — это можно сделать \(20!\) способами — и объявим парами первого со вторым, третьего с четвёртым и так далее до девятнадцатого с двадцатым. Так получается каждое разбиение, но не по одному разу: внутри каждой из десяти пар двоих можно поменять местами, что даёт \(2^{10} = 1024\) варианта, и сами десять пар можно расставить вдоль ряда \(10! = 3\,628\,800\) способами. Значит, каждое разбиение получено \(2^{10} \cdot 10!\) раз, и разбиений \[\frac{20!}{2^{10} \cdot 10!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot \ldots \cdot 11}{1024} = \frac{670\,442\,572\,800}{1024} = 654\,729\,075.\]
Ответ: \(654\,729\,075\) способов.
