Страница 110 номер 213, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
По указанному в условии взаимно однозначному соответствию помеченных деревьев с \(n\) вершинами столько же, сколько последовательностей длины \(n-2\) из натуральных чисел от 1 до \(n\).
Каждый член такой последовательности — любое из чисел \(1,\ 2,\ \ldots,\ n\), и члены выбираются независимо друг от друга: числа могут повторяться. По правилу умножения последовательностей \[\underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{n-2\ \text{множителя}} = n^{n-2}.\]
Столько же существует и помеченных деревьев с \(n\) вершинами.
Ответ: \(n^{n-2}\) помеченных деревьев.
По указанному в условии взаимно однозначному соответствию помеченных деревьев с \(n\) вершинами ровно столько же, сколько последовательностей длины \(n-2\), составленных из натуральных чисел от 1 до \(n\). Значит, достаточно сосчитать такие последовательности.
Каждый член последовательности — любое из чисел \(1,\ 2,\ \ldots,\ n\), и члены выбираются независимо друг от друга: числа могут повторяться, никаких ограничений на них нет. По правилу умножения для нескольких множеств, где каждое из \(n-2\) множеств совпадает с множеством чисел от 1 до \(n\) и содержит \(n\) элементов, последовательностей \[\underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{n-2\ \text{множителя}} = n^{n-2}.\]
Столько же существует и помеченных деревьев с \(n\) вершинами.
Ответ: \(n^{n-2}\) помеченных деревьев.
