Вопросы после параграфа §21 на странице 103, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Пусть события \(A\) и \(B\) несовместны, то есть \(A \cap B = \varnothing\). Пустое событие невозможно, поэтому \(\mathrm{P}(A \cap B) = 0\).

Вероятности \(\mathrm{P}(A)\) и \(\mathrm{P}(B)\) по условию отличны от нуля, а произведение двух положительных чисел положительно: \(\mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) > 0\). Значит, \(\mathrm{P}(A \cap B) \neq \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\): равенство из определения независимых событий не выполняется. Ни для какой пары несовместных событий с ненулевыми вероятностями оно выполниться не может — рассуждение не опирается ни на какой конкретный опыт.

Зависимость таких событий видна и из смысла несовместности: если одно из них наступило, второе наступить уже не может, и его вероятность из ненулевой становится равной нулю. Наступление первого события меняет вероятность второго — это и есть зависимость.

Ответ: нет, два несовместных события с ненулевыми вероятностями независимыми быть не могут.

События \(A\) и \(B\), имеющие ненулевые вероятности, называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей: \[\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B).\]

Это равенство равносильно каждому из равенств \(\mathrm{P}(A \mid B) = \mathrm{P}(A)\) и \(\mathrm{P}(B \mid A) = \mathrm{P}(B)\), то есть означает, что наступление одного события не меняет вероятности другого. В определение взято именно равенство с произведением, потому что оно симметрично: в нём события \(A\) и \(B\) равноправны, и уточнять, какое из них от какого не зависит, не приходится.

Пример: монету бросают два раза, все четыре исхода ОО, ОР, РО, РР равновозможны. Событию \(A\) «при первом броске выпал орёл» благоприятствуют исходы ОО и ОР, событию \(B\) «при втором броске выпал орёл» — исходы ОО и РО, поэтому \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Пересечению благоприятствует один исход ОО, и равенство выполняется: \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\).

Если событий несколько, независимыми их называют тогда, когда они независимы в любой комбинации: попарно, по тройкам и так далее. Например, для трёх событий \(A\), \(B\) и \(C\) должны выполняться четыре равенства: \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\), \(\mathrm{P}(A \cap C) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(C)\), \(\mathrm{P}(B \cap C) = \mathrm{P}(B) \cdot \mathrm{P}(C)\) и \(\mathrm{P}(A \cap B \cap C) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) \cdot \mathrm{P}(C)\).

Ответ: события \(A\) и \(B\), имеющие ненулевые вероятности, называются независимыми, если \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\).

Независимы, например, события \(A\) «при первом броске выпало чётное число очков» и \(B\) «при втором броске выпало 6 очков».

Сопоставим каждому исходу пару чисел (первый бросок; второй бросок). Всего исходов \(n = 6 \cdot 6 = 36\), и у правильного кубика все они равновозможны.

Событию \(A\) благоприятствуют пары, у которых первое число равно 2, 4 или 6, а второе — любое: \(n(A) = 3 \cdot 6 = 18\) и \(\mathrm{P}(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).

Событию \(B\) благоприятствуют пары со вторым числом 6: \(n(B) = 6 \cdot 1 = 6\) и \(\mathrm{P}(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

Пересечению \(A \cap B\) благоприятствуют три пары — \((2;\ 6)\), \((4;\ 6)\), \((6;\ 6)\), — поэтому \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).

Равенство из определения независимых событий выполняется: \[\mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} = \mathrm{P}(A \cap B).\]

Ответ: например, события \(A\) «при первом броске выпало чётное число очков» и \(B\) «при втором броске выпало 6 очков»: \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\).