Страница 103 номер 193, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

По формуле сложения вероятностей \(\mathrm{P}(U \cup V) = \mathrm{P}(U) + \mathrm{P}(V) - \mathrm{P}(U \cap V)\), а по определению независимых событий \(\mathrm{P}(U \cap V) = \mathrm{P}(U) \cdot \mathrm{P}(V)\). Значит, \[\mathrm{P}(U \cup V) = \mathrm{P}(U) + \mathrm{P}(V) - \mathrm{P}(U) \cdot \mathrm{P}(V).\]

Обозначим искомую вероятность \(x = \mathrm{P}(U)\) и подставим данные \(\mathrm{P}(U \cup V) = \frac{9}{16}\) и \(\mathrm{P}(V) = 0{,}25 = \frac{1}{4}\): \[\frac{9}{16} = x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}x.\]

Слагаемые с неизвестной соберём в правой части, числа — в левой: \[\frac{9}{16} - \frac{4}{16} = x - \frac{1}{4}x, \quad \text{то есть} \quad \frac{5}{16} = \frac{3}{4}x.\]

Отсюда \(x = \frac{5}{16} : \frac{3}{4} = \frac{5}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}\).

Проверка: при \(\mathrm{P}(U) = \frac{5}{12}\) и \(\mathrm{P}(V) = \frac{1}{4}\) вероятность пересечения равна \(\mathrm{P}(U \cap V) = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{48}\), и тогда \(\mathrm{P}(U \cup V) = \frac{20}{48} + \frac{12}{48} - \frac{5}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}\).

Ответ: \(\mathrm{P}(U) = \dfrac{5}{12}\).