Страница 104 номер 196, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
кубик правильный, бросков 10
\(A\) «в какой-то момент сумма выпавших очков равна 3»

Найти: а) вероятность того, что к этому моменту сделано ровно два броска; б) вероятность того, что сделано не более двух бросков.

Решение:

Каждый бросок добавляет к сумме не меньше 1 очка, поэтому сумма растёт с каждым броском и равной 3 может оказаться только один раз — после первого, второго или третьего броска: после четырёх и более бросков сумма не меньше 4. Значит, событие \(A\) складывается из трёх событий:

\(B_1\) «сумма стала равна 3 после первого броска» — при первом броске выпало 3 очка;
\(B_2\) «сумма стала равна 3 после второго броска» — первые два броска дали \((1;\ 2)\) или \((2;\ 1)\);
\(B_3\) «сумма стала равна 3 после третьего броска» — первые три броска дали \((1;\ 1;\ 1)\).

Броски независимы, и у правильного кубика каждая грань выпадает с вероятностью \(\frac{1}{6}\), поэтому
\(\mathrm{P}(B_1) = \dfrac{1}{6}\) — одна грань из шести;
\(\mathrm{P}(B_2) = 2 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}\) — две пары исходов;
\(\mathrm{P}(B_3) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{216}\) — одна тройка исходов.

Остальные броски, вплоть до десятого, на эти события не влияют: наступление \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\) определяется соответственно первым броском, первыми двумя и первыми тремя бросками.

События \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\) попарно несовместны: если сумма равна 3 после первого броска, то после второго она уже не меньше 4, а если после второго, то после третьего не меньше 4. Событие \(A\) — их объединение, и по формуле сложения вероятностей для несовместных событий \[\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(B_2) + \mathrm{P}(B_3) = \frac{36}{216} + \frac{12}{216} + \frac{1}{216} = \frac{49}{216}.\]

а) При условии \(A\) событие «сделано ровно два броска» — это событие \(B_2\). Событие \(B_2\) целиком входит в \(A\), поэтому \(B_2 \cap A = B_2\), и по формуле условной вероятности \[\mathrm{P}(B_2 \mid A) = \frac{\mathrm{P}(B_2 \cap A)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{\mathrm{P}(B_2)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{12}{216} : \frac{49}{216} = \frac{12}{49} \approx 0{,}245.\]

б) Событие «сделано не более двух бросков» — это \(B_1 \cup B_2\) (один бросок или два), оно тоже целиком входит в \(A\). События \(B_1\) и \(B_2\) несовместны, поэтому \[\mathrm{P}(B_1 \cup B_2 \mid A) = \frac{\mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(B_2)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{36 + 12}{49} = \frac{48}{49} \approx 0{,}980.\]

Чаще всего сумма 3 набирается за один бросок: при условии \(A\) на один бросок приходится вероятность \(\frac{36}{49}\), на два броска — \(\frac{12}{49}\), на три — \(\frac{1}{49}\).

Ответ: а) \(\dfrac{12}{49} \approx 0{,}245\); б) \(\dfrac{48}{49} \approx 0{,}980\).