Страница 103 номер 192, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
События независимы, поэтому \(\mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}4 \cdot 0{,}75 = 0{,}3\).
а) Событие \(A\) распадается на несовместные \(A \cap B\) и \(A \cap \overline{B}\): \[\mathrm{P}(A \cap \overline{B}) = \mathrm{P}(A) - \mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}1.\]
б) Событие \(B\) распадается на несовместные \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\): \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}75 - 0{,}3 = 0{,}45.\]
в) Событие \(\overline{A} \cap \overline{B}\) противоположно событию \(A \cup B\) — не наступает ни \(A\), ни \(B\): \[\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}75 - 0{,}3 = 0{,}85.\] Вероятность противоположного события дополняет её до 1: \(\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\).
Проверка: события \(A \cap B\), \(A \cap \overline{B}\), \(\overline{A} \cap B\) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\) попарно несовместны, и каждый исход благоприятствует ровно одному из них: \(0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}45 + 0{,}15 = 1\).
Ответ: а) \(0{,}1\); б) \(0{,}45\); в) \(0{,}15\).
События \(A\) и \(B\) независимы, поэтому вероятность их пересечения равна произведению вероятностей: \(\mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}4 \cdot 0{,}75 = 0{,}3\).
а) Событие \(A\) распадается на два несовместных: \(A \cap B\) (наступило и событие \(B\)) и \(A \cap \overline{B}\) (событие \(B\) не наступило). По формуле сложения вероятностей для несовместных событий \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \cap B) + \mathrm{P}(A \cap \overline{B})\), поэтому \[\mathrm{P}(A \cap \overline{B}) = \mathrm{P}(A) - \mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}1.\]
б) Точно так же событие \(B\) распадается на несовместные события \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\), поэтому \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap B) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}75 - 0{,}3 = 0{,}45.\]
в) Событие \(\overline{A} \cap \overline{B}\) наступает тогда, когда не наступает ни \(A\), ни \(B\), то есть когда не наступает событие \(A \cup B\). Значит, события \(\overline{A} \cap \overline{B}\) и \(A \cup B\) противоположны. По формуле сложения вероятностей \[\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}75 - 0{,}3 = 0{,}85.\] Вероятность противоположного события дополняет её до 1: \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15.\]
Проверка: четыре события \(A \cap B\), \(A \cap \overline{B}\), \(\overline{A} \cap B\) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\) попарно несовместны, и каждый исход опыта благоприятствует ровно одному из них, поэтому сумма их вероятностей равна 1: \(0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}45 + 0{,}15 = 1\).
Ответ: а) \(0{,}1\); б) \(0{,}45\); в) \(0{,}15\).
