Страница 104 номер 195, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(A\) «первый терминал исправен»
\(B\) «второй терминал исправен»
\(\mathrm{P}(\overline{A}) = \mathrm{P}(\overline{B}) = 0{,}03\) — вероятность того, что терминал неисправен
события \(A\) и \(B\) независимы

Найти: а) вероятность того, что оба терминала исправны; б) вероятность того, что исправен хотя бы один терминал.

Решение:

Событие «терминал исправен» противоположно событию «терминал неисправен», поэтому \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\).

а) Оба терминала исправны — это событие \(A \cap B\). Терминалы работают независимо друг от друга, поэтому вероятность пересечения равна произведению вероятностей: \[\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = 0{,}97 \cdot 0{,}97 = 0{,}9409 \approx 0{,}941.\]

б) Событие «исправен хотя бы один терминал» противоположно событию «оба терминала неисправны», то есть событию \(\overline{A} \cap \overline{B}\). События \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\) относятся к разным терминалам, работающим независимо друг от друга, поэтому они тоже независимы и \[\mathrm{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = \mathrm{P}(\overline{A}) \cdot \mathrm{P}(\overline{B}) = 0{,}03 \cdot 0{,}03 = 0{,}0009.\] Вероятность противоположного события дополняет её до 1 и равна \(1 - 0{,}0009 = 0{,}9991 \approx 0{,}999\).

Ответ: а) \(0{,}9409 \approx 0{,}941\); б) \(0{,}9991 \approx 0{,}999\).