Страница 103 номер 188, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Сопоставим каждому исходу пару букв: первая — результат первого броска, вторая — результат второго (О — орёл, Р — решка). Монета симметрична, поэтому все четыре исхода равновозможны: ОО, ОР, РО, РР.

а) Событию \(A\) «выпали обе стороны» благоприятствуют исходы ОР и РО, поэтому \(\mathrm{P}(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Это событие относится сразу к обоим броскам, поэтому судить о независимости по устройству опыта нельзя — вероятности надо сравнить.

Событию \(B\) «во второй раз выпал орёл» благоприятствуют исходы ОО и РО, поэтому \(\mathrm{P}(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Пересечению \(A \cap B\) благоприятствует один исход РО: в нём выпали обе стороны и второй бросок дал орла. Значит, \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{4}\).

Равенство из определения независимых событий выполняется: \[\mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \mathrm{P}(A \cap B).\]

б) Событию \(A\) «хотя бы один раз выпала решка» не благоприятствует только исход ОО, значит, ему благоприятствуют три исхода из четырёх и \(\mathrm{P}(A) = \frac{3}{4}\).

Событию \(B\) «хотя бы один раз выпал орёл» не благоприятствует только исход РР, значит, \(\mathrm{P}(B) = \frac{3}{4}\).

Пересечению \(A \cap B\) благоприятствуют исходы ОР и РО — те, в которых есть и орёл, и решка. Значит, \(\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Произведение вероятностей равно \(\mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}\), а вероятность пересечения равна \(\frac{1}{2} = \frac{8}{16}\). Эти числа различны — равенство из определения не выполняется.

Ответ: а) да, события \(A\) и \(B\) независимы; б) нет, события \(A\) и \(B\) зависимы.