Страница 103 номер 190, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Из промежутка от 1 до \(n\) выбирают одно случайное число \(k\). Являются ли независимыми события \(C\) «число \(k\) — чётное» и \(D\) «число \(k\) делится на 3», если: а) \(n = 48\); б) \(n = 100\)?
Исходы — целые числа от 1 до \(n\); число выбирают случайно, поэтому все они равновозможны.
а) При \(n = 48\) исходов 48.
Чётных чисел \(48 : 2 = 24\): \(\mathrm{P}(C) = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}\).
Кратных 3 чисел \(48 : 3 = 16\): \(\mathrm{P}(D) = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}\).
Событию \(C \cap D\) благоприятствуют числа, кратные и 2, и 3, то есть кратные 6; их \(48 : 6 = 8\): \(\mathrm{P}(C \cap D) = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}\).
\(\mathrm{P}(C) \cdot \mathrm{P}(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = \mathrm{P}(C \cap D)\) — числа равны, события независимы.
б) При \(n = 100\) исходов 100.
Чётных чисел \(100 : 2 = 50\): \(\mathrm{P}(C) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}\).
Наибольшее кратное 3, не превосходящее 100, — 99, и таких чисел \(99 : 3 = 33\): \(\mathrm{P}(D) = \frac{33}{100}\).
Наибольшее кратное 6, не превосходящее 100, — 96, и событию \(C \cap D\) благоприятствуют \(96 : 6 = 16\) чисел: \(\mathrm{P}(C \cap D) = \frac{16}{100}\).
\(\mathrm{P}(C) \cdot \mathrm{P}(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{33}{100} = \frac{33}{200}\), а \(\mathrm{P}(C \cap D) = \frac{16}{100} = \frac{32}{200}\) — числа не равны, события зависимы.
Ответ: а) да, события \(C\) и \(D\) независимы; б) нет, события \(C\) и \(D\) зависимы.
Из промежутка от 1 до \(n\) выбирают одно случайное число \(k\). Являются ли независимыми события \(C\) «число \(k\) — чётное» и \(D\) «число \(k\) делится на 3», если: а) \(n = 48\); б) \(n = 100\)?
Элементарные события — целые числа от 1 до \(n\); число выбирают случайно, поэтому все они равновозможны.
а) При \(n = 48\) всех исходов 48.
Чётных чисел от 1 до 48 ровно \(48 : 2 = 24\), поэтому \(\mathrm{P}(C) = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}\).
Кратных 3 чисел от 1 до 48 ровно \(48 : 3 = 16\), поэтому \(\mathrm{P}(D) = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}\).
Событию \(C \cap D\) благоприятствуют числа, которые делятся и на 2, и на 3, то есть кратные 6. Их \(48 : 6 = 8\), поэтому \(\mathrm{P}(C \cap D) = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}\).
Равенство из определения независимых событий выполняется: \[\mathrm{P}(C) \cdot \mathrm{P}(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = \mathrm{P}(C \cap D).\]
б) При \(n = 100\) всех исходов 100.
Чётных чисел от 1 до 100 ровно \(100 : 2 = 50\), поэтому \(\mathrm{P}(C) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}\).
Наибольшее кратное 3, не превосходящее 100, — это 99, и \(99 : 3 = 33\). Значит, кратных 3 чисел 33 и \(\mathrm{P}(D) = \frac{33}{100}\).
Наибольшее кратное 6, не превосходящее 100, — это 96, и \(96 : 6 = 16\). Значит, событию \(C \cap D\) благоприятствуют 16 чисел и \(\mathrm{P}(C \cap D) = \frac{16}{100}\).
Произведение вероятностей равно \(\mathrm{P}(C) \cdot \mathrm{P}(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{33}{100} = \frac{33}{200}\), а вероятность пересечения равна \(\frac{16}{100} = \frac{32}{200}\). Эти числа различны — равенство из определения не выполняется.
Ответ: а) да, события \(C\) и \(D\) независимы; б) нет, события \(C\) и \(D\) зависимы.
