Страница 110 номер 208, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Важны только три последние цифры номера: каждая — одна из десяти цифр от 0 до 9, места независимы, поэтому элементарное событие — упорядоченный набор из трёх цифр, а всего наборов \(n = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\). Все десять цифр на каждом месте считаем одинаково возможными, а места — независимыми; при таком допущении все 1000 наборов равновозможны.
а) \(A_1\) «нет ни одного нуля»: на каждом из трёх мест одна из девяти цифр от 1 до 9, поэтому \(n(A_1) = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\) и \[\mathrm{P}(A_1) = \frac{729}{1000} = 0{,}729.\]
б) \(A_2\) «есть хотя бы одна девятка» считаем через противоположное событие \(\overline{A_2}\) «ни одной девятки нет»: на каждом месте одна из девяти цифр, отличных от 9, таких наборов тоже \(9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\) и \(\mathrm{P}(\overline{A_2}) = 0{,}729\). Значит, \[\mathrm{P}(A_2) = 1 - \mathrm{P}(\overline{A_2}) = 1 - 0{,}729 = 0{,}271.\]
в) \(A_3\) «есть цифры 4, 6 и 3 в любом порядке»: благоприятствующий набор — перестановка этих трёх цифр, поэтому \(n(A_3) = 3! = 6\) и \[\mathrm{P}(A_3) = \frac{6}{1000} = 0{,}006.\]
г) \(A_4\) «есть ровно одна цифра 2 и ровно одна цифра 8»: слово «ровно» запрещает третьей цифре быть второй двойкой или второй восьмёркой. Место для двойки выбирается 3 способами, для восьмёрки — 2 способами из оставшихся, а на третьем месте годится любая из восьми оставшихся цифр, поэтому \(n(A_4) = 3 \cdot 2 \cdot 8 = 48\) и \[\mathrm{P}(A_4) = \frac{48}{1000} = 0{,}048.\]
Ответ: а) \(0{,}729\); б) \(0{,}271\); в) \(0{,}006\); г) \(0{,}048\).
Для решения важны только три последние цифры номера. Каждая из них — одна из десяти цифр от 0 до 9, и цифры на разных местах никак не связаны друг с другом, поэтому элементарное событие — упорядоченный набор из трёх цифр, а всего наборов \(n = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\). Все десять цифр на каждом месте считаем одинаково возможными, а места — независимыми; при таком допущении все 1000 наборов равновозможны.
а) Событию \(A_1\) «среди последних трёх цифр нет ни одного нуля» благоприятствуют наборы, в которых на каждом из трёх мест стоит одна из девяти цифр от 1 до 9. Таких наборов \(9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\), поэтому \(n(A_1) = 729\) и \[\mathrm{P}(A_1) = \frac{729}{1000} = 0{,}729.\]
б) Событие \(A_2\) «среди последних трёх цифр есть хотя бы одна девятка» удобнее сосчитать через противоположное событие \(\overline{A_2}\) «ни одной девятки нет». Ему благоприятствуют наборы, в которых на каждом месте стоит одна из девяти цифр, отличных от 9; их тоже \(9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\), поэтому \(\mathrm{P}(\overline{A_2}) = 0{,}729\) и \[\mathrm{P}(A_2) = 1 - \mathrm{P}(\overline{A_2}) = 1 - 0{,}729 = 0{,}271.\]
в) Событию \(A_3\) «среди последних трёх цифр есть цифры 4, 6 и 3 в любом порядке» благоприятствуют те наборы, в которых три места заняты именно этими тремя цифрами. Каждый такой набор — перестановка цифр 4, 6 и 3, а перестановок трёх различных элементов \(3! = 6\). Значит, \(n(A_3) = 6\) и \[\mathrm{P}(A_3) = \frac{6}{1000} = 0{,}006.\]
г) Событию \(A_4\) «среди последних трёх цифр есть ровно одна цифра 2 и ровно одна цифра 8» благоприятствуют наборы, в которых двойка стоит на одном месте, восьмёрка — на другом, а третья цифра отлична и от 2, и от 8: слово «ровно» запрещает ей быть второй двойкой или второй восьмёркой.
Место для двойки выбирается 3 способами, место для восьмёрки — 2 способами из оставшихся, а на третье место годится любая из восьми оставшихся цифр. По правилу умножения \(n(A_4) = 3 \cdot 2 \cdot 8 = 48\) и \[\mathrm{P}(A_4) = \frac{48}{1000} = 0{,}048.\]
Ответ: а) \(0{,}729\); б) \(0{,}271\); в) \(0{,}006\); г) \(0{,}048\).
