Страница 110 номер 211, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько нулей в конце числа: а) \(24!\); б) \(25!\)?
Нулей в конце факториала столько же, сколько пятёрок в его разложении на простые множители: каждая десятка — это пара «двойка и пятёрка», а двоек заведомо больше, ведь двойку даёт каждый чётный множитель.
а) Среди множителей произведения \(24! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 24\) на 5 делятся числа 5, 10, 15 и 20, и каждое даёт ровно одну пятёрку: числа 25, у которого пятёрок две, в произведении нет. Пятёрок четыре, поэтому \(24!\) делится на \(10^4\) и не делится на \(10^5\) — в конце ровно 4 нуля.
б) В произведении \(25! = 24! \cdot 25\) добавляется число \(25 = 5 \cdot 5\), дающее сразу две пятёрки. Всего пятёрок \(4 + 2 = 6\), поэтому \(25!\) делится на \(10^6\) и не делится на \(10^7\) — в конце ровно 6 нулей.
Ответ: а) 4 нуля; б) 6 нулей.
Сколько нулей в конце числа: а) \(24!\); б) \(25!\)?
Число оканчивается нулём, когда оно делится на 10, и нулей в конце ровно столько, сколько раз оно делится на 10. Каждая десятка в разложении на простые множители — это пара «двойка и пятёрка», поэтому нулей в конце факториала столько же, сколько в его разложении пятёрок: двоек в факториале заведомо больше, ведь двойку даёт каждый чётный множитель, а чётных чисел от 1 до 24 ровно двенадцать.
а) Среди множителей произведения \(24! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 24\) на 5 делятся числа 5, 10, 15 и 20, и каждое из них даёт ровно одну пятёрку: числа 25, у которого пятёрок две, в произведении нет. Пятёрок четыре, двоек больше, поэтому \(24!\) делится на \(10^4\) и не делится на \(10^5\) — в конце этого числа ровно 4 нуля.
б) В произведении \(25! = 24! \cdot 25\) к прежним множителям добавляется число \(25 = 5 \cdot 5\), которое даёт сразу две пятёрки. Всего пятёрок \(4 + 2 = 6\), двоек по-прежнему больше, поэтому \(25!\) делится на \(10^6\) и не делится на \(10^7\) — в конце ровно 6 нулей.
Ответ: а) 4 нуля; б) 6 нулей.
