Вопросы после параграфа §23 на странице 114, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(C_n^k\) — число способов выбрать \(k\) предметов из \(n\).
Симметричность: \(C_n^k = C_n^{n-k}\) — выбирая \(k\) предметов, мы тем самым выбираем и те \(n-k\) предметов, что остаются.
Основное рекуррентное свойство: \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\) при \(0 < k < n\).
Формула числа сочетаний: \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
Крайние числа: \(C_n^0 = C_n^n = 1\) — пустое подмножество и всё множество выбираются единственным способом.
Число пар: \(C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\).
Число упорядоченных выборок по \(k\) предметов из \(n\): \(\dfrac{n!}{(n-k)!} = k!\,C_n^k\) — каждое выбранное подмножество упорядочивается \(k!\) способами.
Ответ: симметричность \(C_n^k = C_n^{n-k}\); основное рекуррентное свойство \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\) при \(0 < k < n\); формула числа сочетаний \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\); крайние числа \(C_n^0 = C_n^n = 1\); число пар \(C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\); число упорядоченных выборок \(k!\,C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}\).
Нумерация строк и столбцов начинается с нуля, поэтому девятая строка — это строка с номером \(n = 9\). В строке с номером \(n\) стоят числа \(C_n^k\) при \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n\), то есть чисел в строке на одно больше, чем её номер: \(9 + 1 = 10\).
Ответ: в девятой строке треугольника Паскаля 10 чисел.
Строка с номером \(n = 9\) — это \(1;\ 9;\ 36;\ 84;\ 126;\ 126;\ 84;\ 36;\ 9;\ 1\), всего 10 чисел.
По симметричности \(C_9^k = C_9^{9-k}\) они разбиваются на \(10 : 2 = 5\) пар с равными значениями: \(C_9^0\) и \(C_9^9\), \(C_9^1\) и \(C_9^8\), \(C_9^2\) и \(C_9^7\), \(C_9^3\) и \(C_9^6\), \(C_9^4\) и \(C_9^5\), а значения разных пар различны: \(1 < 9 < 36 < 84 < 126\). Значит, различных чисел 5.
Ответ: в девятой строке треугольника Паскаля 5 различных чисел: 1; 9; 36; 84; 126.
Количество бинарных последовательностей длины \(n\), состоящих из \(k\) единиц и \(n-k\) нулей, равно \(C_n^k\): достаточно выбрать те \(k\) мест из \(n\), где будут стоять единицы, — на остальных местах будут нули.
Ответ: количество бинарных последовательностей длины \(n\), состоящих из \(k\) единиц и \(n-k\) нулей, равно \(C_n^k\).
При \(n = 20\) и \(k = 9\) получаем \(n - k = 20 - 9 = 11\) и \[C_{20}^9 = \frac{20!}{9!\,11!}.\]
Общая формула числа сочетаний: \[C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.\]
Ответ: \(C_{20}^9 = \dfrac{20!}{9!\,11!}\); общая формула числа сочетаний — \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
Число сочетаний \(C_n^k\) — это количество подмножеств из \(k\) элементов у множества из \(n\) элементов, то есть число способов выбрать \(k\) предметов из \(n\). К этому моменту о числах сочетаний известно следующее.
Симметричность: \(C_n^k = C_n^{n-k}\). Выбирая \(k\) предметов из \(n\), мы тем самым выбираем и те \(n-k\) предметов, которые остаются, поэтому способов в обоих случаях поровну. Например, \(C_8^6 = C_8^2 = 28\).
Основное рекуррентное свойство: если \(0 < k < n\), то \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\). Например, \(C_5^2 = C_4^1 + C_4^2 = 4 + 6 = 10\).
Формула числа сочетаний: \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
Крайние числа: \(C_n^0 = 1\) и \(C_n^n = 1\), потому что пустое подмножество и всё множество целиком выбираются единственным способом; в частности, \(C_0^0 = 1\).
Число пар: \(C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\).
Связь с числом упорядоченных выборок: упорядоченных выборок по \(k\) предметов из \(n\) ровно \(\dfrac{n!}{(n-k)!} = k!\,C_n^k\), потому что каждое выбранное подмножество упорядочивается \(k!\) способами.
Ответ: симметричность \(C_n^k = C_n^{n-k}\); основное рекуррентное свойство \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\) при \(0 < k < n\); формула числа сочетаний \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\); крайние числа \(C_n^0 = C_n^n = 1\); число пар \(C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\); число упорядоченных выборок \(k!\,C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}\).
Нумерация строк и столбцов треугольника Паскаля начинается с нуля, поэтому девятая строка — это строка с номером \(n = 9\), а не девятая по счёту сверху.
В строке с номером \(n\) стоят числа \(C_n^k\) при \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n\) — номеров столбцов на один больше, чем \(n\). При \(n = 9\) чисел \(9 + 1 = 10\).
Ответ: в девятой строке треугольника Паскаля 10 чисел.
Строка с номером \(n = 9\) — это \(1;\ 9;\ 36;\ 84;\ 126;\ 126;\ 84;\ 36;\ 9;\ 1\), всего 10 чисел.
По симметричности \(C_9^k = C_9^{9-k}\), поэтому числа строки разбиваются на пары с равными значениями: \(C_9^0\) и \(C_9^9\), \(C_9^1\) и \(C_9^8\), \(C_9^2\) и \(C_9^7\), \(C_9^3\) и \(C_9^6\), \(C_9^4\) и \(C_9^5\). Пар ровно \(10 : 2 = 5\), и значения разных пар различны: \(1 < 9 < 36 < 84 < 126\).
Значит, различных чисел в этой строке 5.
Ответ: в девятой строке треугольника Паскаля 5 различных чисел: 1; 9; 36; 84; 126.
Количество бинарных последовательностей длины \(n\), состоящих из \(k\) единиц и \(n-k\) нулей, равно \(C_n^k\).
Смысл теоремы такой: в последовательности \(n\) мест, и достаточно выбрать те \(k\) мест, где будут стоять единицы, — на остальных местах будут стоять нули. Число способов выбрать \(k\) мест из \(n\) и есть \(C_n^k\). Например, последовательностей длины 7, состоящих из 3 единиц и 4 нулей, ровно \(C_7^3 = 35\).
Ответ: количество бинарных последовательностей длины \(n\), состоящих из \(k\) единиц и \(n-k\) нулей, равно \(C_n^k\).
В формуле числа сочетаний надо взять \(n = 20\) и \(k = 9\); тогда \(n - k = 20 - 9 = 11\) и \[C_{20}^9 = \frac{20!}{9!\,11!}.\]
Общая формула числа сочетаний: \[C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.\]
Ответ: \(C_{20}^9 = \dfrac{20!}{9!\,11!}\); общая формула числа сочетаний — \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
