Страница 100 номер 184, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
мужчин и женщин в городе поровну
\(B_1\) «выбран мужчина», \(B_2\) «выбрана женщина»
\(A\) «выбранный житель — дальтоник»
дальтонизмом страдают 5 % мужчин и 0,25 % женщин

Найти: а) \(\mathrm{P}(A)\); б) \(\mathrm{P}(B_2 \mid A)\).

Решение:

Житель выбран наугад, а мужчин и женщин в городе поровну, поэтому \(\mathrm{P}(B_1) = \mathrm{P}(B_2) = 0{,}5\). События \(B_1\) и \(B_2\) несовместны, а их объединение — всё множество элементарных событий опыта.

Доля дальтоников среди мужчин равна 5 %, то есть \(\mathrm{P}(A \mid B_1) = 0{,}05\); доля дальтоников среди женщин равна 0,25 %, то есть \(\mathrm{P}(A \mid B_2) = 0{,}0025\).

а) По формуле полной вероятности

\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \mid B_1) \cdot \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(A \mid B_2) \cdot \mathrm{P}(B_2) = {} \\ &= 0{,}05 \cdot 0{,}5 + 0{,}0025 \cdot 0{,}5 = 0{,}025 + 0{,}00125 = 0{,}02625. \end{aligned}\]

Округлив до тысячных, получаем \(\mathrm{P}(A) \approx 0{,}026\).

б) По формуле Байеса

\[\mathrm{P}(B_2 \mid A) = \frac{\mathrm{P}(A \mid B_2) \cdot \mathrm{P}(B_2)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{0{,}0025 \cdot 0{,}5}{0{,}02625} = \frac{0{,}00125}{0{,}02625} = \frac{1}{21} \approx 0{,}048.\]

Женщины составляют половину жителей города, но среди дальтоников их лишь примерно двадцать первая часть: дальтонизм у женщин встречается в 20 раз реже, чем у мужчин.

Ответ: а) \(\mathrm{P}(A) = 0{,}02625 \approx 0{,}026\); б) \(\mathrm{P}(B_2 \mid A) = \dfrac{1}{21} \approx 0{,}048\).