Страница 100 номер 182, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Рассмотрите дерево случайного эксперимента (рис. 99). Найдите: а) \(\mathrm{P}(K\,|\,A)\); б) \(\mathrm{P}(K)\); в) \(\mathrm{P}(N\,|\,A)\); г) \(\mathrm{P}(N\,|\,B)\); д) \(\mathrm{P}(N \cup Q)\).
Около каждого ребра подписана условная вероятность перехода; два ребра не подписаны, но их вероятности восстанавливаются, ведь сумма вероятностей в точке ветвления равна 1.
Из вершины \(A\) выходят два ребра, подписано \(AK\): \(1 - 0{,}7 = 0{,}3\) — вероятность ребра \(AL\).
Из вершины \(B\) выходят три ребра, подписаны \(BM\) и \(BQ\): \(1 - 0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4\) — вероятность ребра \(BN\).
а) Подпись у ребра \(AK\) и есть условная вероятность события \(K\) при условии \(A\): \(\mathrm{P}(K \mid A) = 0{,}7\).
б) В концевую вершину \(K\) ведёт единственная цепь \(SAK\), поэтому \[\mathrm{P}(K) = \mathrm{P}(SAK) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(K \mid A) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42.\]
в) Из корневой вершины цепь выходит ровно по одному ребру, поэтому события \(A\) и \(B\) несовместны, а в вершину \(N\) ведёт единственная цепь \(SBN\) — через вершину \(B\). Значит, при наступившем событии \(A\) событие \(N\) наступить не может: \(\mathrm{P}(N \mid A) = 0\).
г) Подпись у ребра \(BN\): \(\mathrm{P}(N \mid B) = 0{,}4\).
д) События \(N\) и \(Q\) изображены разными концевыми вершинами, а цепь оканчивается только в одной из них, поэтому события \(N\) и \(Q\) несовместны: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(N \cup Q) = \mathrm{P}(SBN) + \mathrm{P}(SBQ) = {} \\ &= 0{,}4 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}1 = 0{,}16 + 0{,}04 = 0{,}2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(K \mid A) = 0{,}7\); б) \(\mathrm{P}(K) = 0{,}42\); в) \(\mathrm{P}(N \mid A) = 0\); г) \(\mathrm{P}(N \mid B) = 0{,}4\); д) \(\mathrm{P}(N \cup Q) = 0{,}2\).
Рассмотрите дерево случайного эксперимента (рис. 99). Найдите: а) \(\mathrm{P}(K\,|\,A)\); б) \(\mathrm{P}(K)\); в) \(\mathrm{P}(N\,|\,A)\); г) \(\mathrm{P}(N\,|\,B)\); д) \(\mathrm{P}(N \cup Q)\).
Около каждого ребра дерева подписана вероятность перехода — условная вероятность следующего события при условии, что цепь дошла до начальной вершины этого ребра. Два ребра не подписаны, но их вероятности восстанавливаются: сумма вероятностей в каждой точке ветвления равна 1.
Из вершины \(A\) выходят два ребра, подписано только ребро \(AK\) числом \(0{,}7\), поэтому у ребра \(AL\) вероятность \(1 - 0{,}7 = 0{,}3\). Из вершины \(B\) выходят три ребра, подписаны ребро \(BM\) числом \(0{,}5\) и ребро \(BQ\) числом \(0{,}1\), поэтому у ребра \(BN\) вероятность \(1 - 0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4\).
а) Подпись у ребра \(AK\) — это и есть условная вероятность события \(K\) при условии \(A\): \(\mathrm{P}(K \mid A) = 0{,}7\).
б) В концевую вершину \(K\) ведёт единственная цепь \(SAK\), поэтому событию \(K\) благоприятствует одно элементарное событие, и
\[\mathrm{P}(K) = \mathrm{P}(SAK) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(K \mid A) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42.\]
в) В концевую вершину \(N\) ведёт единственная цепь \(SBN\), и она проходит через вершину \(B\). Из корневой вершины цепь выходит ровно по одному ребру, поэтому события \(A\) и \(B\) несовместны. Значит, при наступившем событии \(A\) событие \(N\) наступить не может: \(\mathrm{P}(N \mid A) = 0\).
г) Подпись у ребра \(BN\) — это условная вероятность события \(N\) при условии \(B\), и выше она восстановлена: \(\mathrm{P}(N \mid B) = 0{,}4\).
д) События \(N\) и \(Q\) изображены разными концевыми вершинами, а цепь одного опыта оканчивается только в одной концевой вершине, поэтому события \(N\) и \(Q\) несовместны. По формуле сложения вероятностей для несовместных событий
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(N \cup Q) = \mathrm{P}(SBN) + \mathrm{P}(SBQ) = {} \\ &= 0{,}4 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}1 = 0{,}16 + 0{,}04 = 0{,}2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(K \mid A) = 0{,}7\); б) \(\mathrm{P}(K) = 0{,}42\); в) \(\mathrm{P}(N \mid A) = 0\); г) \(\mathrm{P}(N \mid B) = 0{,}4\); д) \(\mathrm{P}(N \cup Q) = 0{,}2\).
