Вопросы после параграфа §20 на странице 98, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Элементарные события изображаются цепями, ведущими от корневой вершины \(S\) дерева к концевым вершинам. Каждое ребро такой цепи — очередное событие опыта, а вся цепь целиком описывает один возможный исход: какое событие наступило первым, какое вторым и так далее до самого конца опыта. Промежуточная вершина отдельного элементарного события не изображает: пока цепь не дошла до концевой вершины, опыт ещё не закончен.

Ответ: цепями, ведущими от корневой вершины дерева к концевым вершинам.

От корневой вершины дерева к любой его вершине ведёт ровно одна цепь, поэтому цепей, оканчивающихся в концевых вершинах, столько же, сколько самих концевых вершин. Каждая такая цепь изображает одно элементарное событие, и разным концевым вершинам отвечают разные элементарные события. Значит, элементарных событий ровно столько, сколько концевых вершин, то есть 6.

Ответ: 6 элементарных событий.

Около каждого ребра дерева подписана вероятность перехода — условная вероятность следующего события при условии, что все предыдущие события цепи уже наступили. По правилу умножения вероятностей вероятность цепи равна произведению этих подписей. Значит, чтобы найти вероятность элементарного события, нужно взять изображающую его цепь от корневой вершины к концевой и перемножить вероятности всех её рёбер.

Если, например, у цепи \(SAB\) ребро \(SA\) подписано числом \(0{,}4\), а ребро \(AB\) — числом \(0{,}5\), то вероятность этого элементарного события равна \(\mathrm{P}(SAB) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\).

Ответ: перемножить вероятности, подписанные у рёбер цепи, которая ведёт от корневой вершины к концевой вершине этого элементарного события.

Пусть события \(B_1\), \(B_2\), \(\ldots\), \(B_n\) попарно несовместны, а их объединение содержит событие \(A\). Тогда

\[\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \mid B_1) \cdot \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(A \mid B_2) \cdot \mathrm{P}(B_2) + \ldots + \mathrm{P}(A \mid B_n) \cdot \mathrm{P}(B_n).\]

События \(B_1\), \(B_2\), \(\ldots\), \(B_n\) называют гипотезами. Формула собирает вероятность события \(A\) из частей: каждое слагаемое \(\mathrm{P}(A \mid B_k) \cdot \mathrm{P}(B_k) = \mathrm{P}(A \cap B_k)\) — это вероятность той части события \(A\), которая приходится на гипотезу \(B_k\).

Ответ: \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \mid B_1) \cdot \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(A \mid B_2) \cdot \mathrm{P}(B_2) + \ldots + \mathrm{P}(A \mid B_n) \cdot \mathrm{P}(B_n)\), где события \(B_1\), \(B_2\), \(\ldots\), \(B_n\) попарно несовместны, а их объединение содержит событие \(A\).

Сумма вероятностей в каждой точке ветвления равна 1: из вершины опыт непременно переходит по одному из выходящих рёбер, эти переходы попарно несовместны, а их объединение — всё, что может случиться дальше.

В корневой вершине \(S\) это условие выполнено: \(0{,}6 + 0{,}4 = 1\), здесь ошибки нет.

В левой вершине первого уровня выходящие рёбра ведут в концевые вершины \(K\) и \(L\), а сумма их подписей равна \(0{,}7 + 0{,}2 = 0{,}9 \neq 1\) — это первая ошибка.

В правой вершине первого уровня выходящих рёбер три, и уже две подписи дают \(0{,}9 + 0{,}2 = 1{,}1 > 1\). Тогда на третье ребро осталась бы вероятность \(1 - 1{,}1 = -0{,}1\), а отрицательных вероятностей не бывает, — это вторая ошибка.

Наконец, ребро, ведущее в концевую вершину \(N\), не подписано вовсе: вероятность этого перехода не указана, поэтому вероятность элементарного события, изображённого цепью через вершину \(N\), найти по такому дереву невозможно, — это третья ошибка.

Ответ: сумма подписей у рёбер, выходящих из левой вершины первого уровня, равна \(0{,}9\), а не 1; сумма подписей у двух рёбер, выходящих из правой вершины первого уровня, равна \(1{,}1 > 1\), из-за чего третьему ребру пришлось бы приписать отрицательную вероятность \(-0{,}1\); ребро, ведущее в концевую вершину \(N\), не подписано.