Страница 99 номер 179, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
В группе 4 мальчика и 6 девочек. Случайным образом выбирают двух человек. Постройте дерево случайного эксперимента и найдите вероятность того, что будут выбраны один мальчик и одна девочка.
Дано:
в группе 10 человек: 4 мальчика и 6 девочек
случайным образом выбирают двух человек
\(C\) «выбраны один мальчик и одна девочка»
Найти: \(\mathrm{P}(C)\).
Решение:
Обозначим события: \(A\) «первый выбранный — мальчик», \(B\) «второй выбранный — мальчик»; противоположные им события \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\) состоят в том, что выбрана девочка. Элементарные события — цепи длины 2 от корневой вершины \(S\) к концевым вершинам.
В группе 10 человек, 4 из них мальчики: \(\mathrm{P}(A) = \frac{4}{10}\), а у ребра \(S\overline{A}\) вероятность \(\frac{6}{10}\).
При условии \(A\) остаётся 9 человек и среди них 3 мальчика: \(\mathrm{P}(B \mid A) = \frac{3}{9}\), \(\mathrm{P}(\overline{B} \mid A) = \frac{6}{9}\).
При условии \(\overline{A}\) остаётся 9 человек и среди них все 4 мальчика: \(\mathrm{P}(B \mid \overline{A}) = \frac{4}{9}\), \(\mathrm{P}(\overline{B} \mid \overline{A}) = \frac{5}{9}\).
Событию \(C\) благоприятствуют цепь \(SA\overline{B}\) (сначала мальчик, потом девочка) и цепь \(S\overline{A}B\) (сначала девочка, потом мальчик): \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(C) = \mathrm{P}(SA\overline{B}) + \mathrm{P}(S\overline{A}B) = {} \\ &= \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24 + 24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15} \approx 0{,}533. \end{aligned}\]
Ответ: \(\dfrac{8}{15} \approx 0{,}533\).
В группе 4 мальчика и 6 девочек. Случайным образом выбирают двух человек. Постройте дерево случайного эксперимента и найдите вероятность того, что будут выбраны один мальчик и одна девочка.
Дано:
в группе 10 человек: 4 мальчика и 6 девочек
случайным образом выбирают двух человек
\(C\) «выбраны один мальчик и одна девочка»
Найти: \(\mathrm{P}(C)\).
Решение:
Обозначим события: \(A\) «первый выбранный — мальчик», \(B\) «второй выбранный — мальчик». Противоположные им события \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\) состоят в том, что первой и второй соответственно выбрана девочка. Выбирают всего двух человек, поэтому элементарные события изображаются цепями длины 2, ведущими от корневой вершины \(S\) к концевым вершинам.
Вероятность события \(A\) равна \(\frac{4}{10}\): в группе 10 человек, 4 из них мальчики, а выбор случайный; тогда у ребра \(S\overline{A}\) вероятность \(\frac{6}{10}\).
Ребро \(AB\) подписывается условной вероятностью \(\mathrm{P}(B \mid A) = \frac{3}{9}\): при условии \(A\) остаётся 9 человек и среди них 3 мальчика; значит, \(\mathrm{P}(\overline{B} \mid A) = \frac{6}{9}\). Ребро \(\overline{A}B\) подписывается условной вероятностью \(\mathrm{P}(B \mid \overline{A}) = \frac{4}{9}\): при условии \(\overline{A}\) остаётся 9 человек и среди них все 4 мальчика; значит, \(\mathrm{P}(\overline{B} \mid \overline{A}) = \frac{5}{9}\).
Построим дерево этого опыта и отметим на нём событие \(C\).
Событию \(C\) благоприятствуют два элементарных события: цепь \(SA\overline{B}\) (сначала выбран мальчик, потом девочка) и цепь \(S\overline{A}B\) (сначала девочка, потом мальчик). Вероятность события равна сумме вероятностей благоприятствующих цепей, а вероятность каждой цепи — произведению вероятностей вдоль её рёбер:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(C) = \mathrm{P}(SA\overline{B}) + \mathrm{P}(S\overline{A}B) = {} \\ &= \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24 + 24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15} \approx 0{,}533. \end{aligned}\]
Ответ: \(\dfrac{8}{15} \approx 0{,}533\).
