Страница 99 номер 178, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Обозначим вершины дерева: \(A\) — левая вершина первого уровня, \(B\) — правая, она концевая; \(D\) — левая концевая вершина под \(A\), \(E\) — правая вершина под \(A\); \(F\), \(G\), \(H\) — три концевые вершины под \(E\) слева направо. Как видно на рисунке, фигура события \(C\) охватывает вершину \(B\) и две правые концевые вершины нижнего ряда — \(G\) и \(H\).
а) Вероятности рёбер, выходящих из одной вершины, по условию одинаковы, а в сумме дают 1, поэтому при \(k\) рёбрах вероятность каждого равна \(\frac{1}{k}\).
Из корневой вершины \(S\) выходят два ребра — у каждого вероятность \(\frac{1}{2}\); из вершины \(A\) тоже два — у каждого \(\frac{1}{2}\); из вершины \(E\) три — у каждого \(\frac{1}{3}\).
б) Событию \(C\) благоприятствуют цепи, оканчивающиеся в вершинах \(B\), \(G\) и \(H\): \(SB\), \(SAEG\) и \(SAEH\).
в) \[\mathrm{P}(SB) = \frac{1}{2}, \qquad \mathrm{P}(SAEG) = \mathrm{P}(SAEH) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}.\]
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(C) = \mathrm{P}(SB) + \mathrm{P}(SAEG) + \mathrm{P}(SAEH) = {} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 1 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
Проверка: у двух оставшихся элементарных событий цепи \(SAD\) и \(SAEF\) с вероятностями \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) и \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}\), а сумма вероятностей всех пяти равна \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 3 + 1 + 1 + 1}{12} = 1\).
Ответ: а) у каждого из двух рёбер, выходящих из корневой вершины, вероятность \(\frac{1}{2}\), у каждого из двух рёбер, выходящих из вершины \(A\), — \(\frac{1}{2}\), у каждого из трёх рёбер, выходящих из вершины \(E\), — \(\frac{1}{3}\); б) событию \(C\) благоприятствуют элементарные события, изображённые цепями \(SB\), \(SAEG\), \(SAEH\); в) \(\mathrm{P}(C) = \dfrac{2}{3}\).
Обозначим вершины дерева: \(A\) — левая вершина первого уровня, \(B\) — правая, она концевая; \(D\) — левая концевая вершина под \(A\), \(E\) — правая вершина под \(A\); \(F\), \(G\), \(H\) — три концевые вершины под \(E\) слева направо. Как видно на рисунке, фигура события \(C\) охватывает концевую вершину \(B\) и две правые концевые вершины нижнего ряда — \(G\) и \(H\).
а) Сумма вероятностей в каждой точке ветвления равна 1, а по условию вероятности рёбер, выходящих из одной вершины, одинаковы. Значит, если из вершины выходят \(k\) рёбер, то вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{k}\).
Из корневой вершины \(S\) выходят два ребра, поэтому у каждого из них вероятность \(\frac{1}{2}\). Из вершины \(A\) тоже выходят два ребра — у каждого вероятность \(\frac{1}{2}\). Из вершины \(E\) выходят три ребра — у каждого вероятность \(\frac{1}{3}\).
б) Элементарные события изображаются цепями от корневой вершины к концевым. Событию \(C\) благоприятствуют те из них, чьи цепи оканчиваются в вершинах \(B\), \(G\) и \(H\): это цепи \(SB\), \(SAEG\) и \(SAEH\).
в) Вероятность цепи равна произведению вероятностей вдоль её рёбер:
\[\mathrm{P}(SB) = \frac{1}{2}, \qquad \mathrm{P}(SAEG) = \mathrm{P}(SAEH) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}.\]
Вероятность события равна сумме вероятностей благоприятствующих цепей:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(C) = \mathrm{P}(SB) + \mathrm{P}(SAEG) + \mathrm{P}(SAEH) = {} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 1 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
Проверка: у двух оставшихся элементарных событий цепи \(SAD\) и \(SAEF\), их вероятности равны \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) и \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}\). Сумма вероятностей всех пяти элементарных событий равна \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 3 + 1 + 1 + 1}{12} = 1\).
Ответ: а) у каждого из двух рёбер, выходящих из корневой вершины, вероятность \(\frac{1}{2}\), у каждого из двух рёбер, выходящих из вершины \(A\), — \(\frac{1}{2}\), у каждого из трёх рёбер, выходящих из вершины \(E\), — \(\frac{1}{3}\); б) событию \(C\) благоприятствуют элементарные события, изображённые цепями \(SB\), \(SAEG\), \(SAEH\); в) \(\mathrm{P}(C) = \dfrac{2}{3}\).
