Страница 100 номер 183, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(B_1\) «у Патрика нет пироплазмоза», \(\mathrm{P}(B_1) = 0{,}95\)
\(B_2\) «у Патрика пироплазмоз», \(\mathrm{P}(B_2) = 0{,}05\)
\(A\) «анализ положительный», \(\mathrm{P}(A) = 0{,}06\)
у здоровой собаки анализ отрицателен в 98 % случаев

Найти: \(\mathrm{P}(B_1 \mid A)\).

Решение:

После укуса клеща заболевают 5 % собак, поэтому \(\mathrm{P}(B_2) = 0{,}05\) и \(\mathrm{P}(B_1) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\). События \(B_1\) и \(B_2\) противоположны, а значит, несовместны, и их объединение — всё множество элементарных событий опыта.

У здоровой собаки анализ в 98 % случаев показывает отсутствие болезни, то есть оказывается отрицательным. Положительным он у здоровой собаки бывает в остальных случаях, поэтому

\[\mathrm{P}(A \mid B_1) = 1 - 0{,}98 = 0{,}02.\]

Вероятность положительного анализа известна из условия: \(\mathrm{P}(A) = 0{,}06\), ведь положительны 6 % всех анализов.

Требуется найти вероятность того, что собака здорова, при условии, что анализ положительный, то есть условную вероятность \(\mathrm{P}(B_1 \mid A)\). По формуле Байеса

\[\mathrm{P}(B_1 \mid A) = \frac{\mathrm{P}(A \mid B_1) \cdot \mathrm{P}(B_1)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{0{,}02 \cdot 0{,}95}{0{,}06} = \frac{0{,}019}{0{,}06} = \frac{19}{60} \approx 0{,}317.\]

Положительный анализ сильно меняет оценку: до анализа вероятность болезни была равна \(0{,}05\), а после положительного анализа вероятность того, что собака здорова, равна примерно \(0{,}317\), то есть вероятность болезни — примерно \(0{,}683\).

Ответ: \(\dfrac{19}{60} \approx 0{,}317\).