Страница 100 номер 181, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
в классе 27 человек, класс случайно разделили на три группы по 9 человек
подруги Анна, Ольга и Ирина учатся в этом классе
\(C\) «никакие две подруги не оказались в одной группе»
\(D\) «ровно две подруги оказались в одной группе»
Найти: а) \(\mathrm{P}(C)\); б) \(\mathrm{P}(D)\).
Решение:
Подруги занимают места по очереди — Анна, Ольга, Ирина, — и при случайном делении каждая следующая занимает любое свободное место равновозможно. После Анны свободны 26 мест: 8 в её группе и по 9 в двух других.
а) Ольга должна оказаться не в группе Анны — таких мест \(9 + 9 = 18\) из 26, вероятность перехода \(\frac{18}{26}\).
Дальше свободны 25 мест: 8 в группе Анны, 8 в группе Ольги и 9 в третьей; Ирине благоприятствуют 9 мест из 25, вероятность перехода \(\frac{9}{25}\).
\[\mathrm{P}(C) = \frac{18}{26} \cdot \frac{9}{25} = \frac{162}{650} = \frac{81}{325} \approx 0{,}249.\]
б) Кроме событий \(C\) и \(D\) возможен ровно один случай — событие \(E\) «все три подруги оказались в одной группе». События \(C\), \(D\) и \(E\) попарно несовместны, а их объединение — всё множество элементарных событий опыта, поэтому \(\mathrm{P}(C) + \mathrm{P}(D) + \mathrm{P}(E) = 1\).
Ольга должна попасть в группу Анны — 8 мест из 26, а затем и Ирина туда же, где осталось 7 мест из 25: \[\mathrm{P}(E) = \frac{8}{26} \cdot \frac{7}{25} = \frac{56}{650} = \frac{28}{325} \approx 0{,}086.\]
\[\mathrm{P}(D) = 1 - \mathrm{P}(C) - \mathrm{P}(E) = 1 - \frac{81}{325} - \frac{28}{325} = \frac{325 - 81 - 28}{325} = \frac{216}{325} \approx 0{,}665.\]
Ответ: а) \(\dfrac{81}{325} \approx 0{,}249\); б) \(\dfrac{216}{325} \approx 0{,}665\).
Дано:
в классе 27 человек, класс случайно разделили на три группы по 9 человек
подруги Анна, Ольга и Ирина учатся в этом классе
\(C\) «никакие две подруги не оказались в одной группе»
\(D\) «ровно две подруги оказались в одной группе»
Найти: а) \(\mathrm{P}(C)\); б) \(\mathrm{P}(D)\).
Решение:
Будем следить за подругами по очереди: сначала своё место занимает Анна, затем Ольга, затем Ирина. Деление класса случайное, поэтому каждая следующая подруга занимает любое из оставшихся свободных мест равновозможно.
После того как место заняла Анна, свободны 26 мест: 8 в группе Анны и по 9 в каждой из двух других групп.
а) Событию \(C\) благоприятствует то, что Ольга оказалась не в группе Анны, — таких мест \(9 + 9 = 18\) из 26, поэтому вероятность этого перехода равна \(\frac{18}{26}\).
При этом условии Ирина должна попасть в третью группу — не в группу Анны и не в группу Ольги. К этому моменту свободны 25 мест: 8 в группе Анны, 8 в группе Ольги и 9 в третьей группе. Ирине благоприятствуют 9 мест из 25, поэтому вероятность второго перехода равна \(\frac{9}{25}\).
Вероятность цепи равна произведению вероятностей вдоль её рёбер:
\[\mathrm{P}(C) = \frac{18}{26} \cdot \frac{9}{25} = \frac{162}{650} = \frac{81}{325} \approx 0{,}249.\]
б) Кроме событий \(C\) и \(D\) возможен ровно один случай — все три подруги оказались в одной группе. Обозначим это событие \(E\) «все три подруги оказались в одной группе». События \(C\), \(D\) и \(E\) попарно несовместны, а их объединение — всё множество элементарных событий опыта, поэтому \(\mathrm{P}(C) + \mathrm{P}(D) + \mathrm{P}(E) = 1\).
Найдём вероятность события \(E\). Ольга должна попасть в группу Анны — это 8 мест из 26. При этом условии Ирина тоже должна попасть в группу Анны, где остаётся 7 свободных мест из 25. Значит,
\[\mathrm{P}(E) = \frac{8}{26} \cdot \frac{7}{25} = \frac{56}{650} = \frac{28}{325} \approx 0{,}086.\]
Отсюда
\[\mathrm{P}(D) = 1 - \mathrm{P}(C) - \mathrm{P}(E) = 1 - \frac{81}{325} - \frac{28}{325} = \frac{325 - 81 - 28}{325} = \frac{216}{325} \approx 0{,}665.\]
Ответ: а) \(\dfrac{81}{325} \approx 0{,}249\); б) \(\dfrac{216}{325} \approx 0{,}665\).
