Страница 103 номер 189, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Исходы — пары чисел (первый бросок; второй бросок), \(n = 6 \cdot 6 = 36\), у правильной кости все они равновозможны.
а) Событию \(M\) благоприятствуют шесть пар \((3;\ 1)\), \((3;\ 2)\), \((3;\ 3)\), \((3;\ 4)\), \((3;\ 5)\), \((3;\ 6)\): \(\mathrm{P}(M) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Сумма чётна, когда оба числа чётны или оба нечётны: пар с двумя чётными числами \(3 \cdot 3 = 9\), столько же с двумя нечётными.
Событию \(K\) благоприятствуют \(9 + 9 = 18\) исходов: \(\mathrm{P}(K) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).
Пересечению \(M \cap K\) благоприятствуют пары с первым числом 3 и нечётным вторым — \((3;\ 1)\), \((3;\ 3)\), \((3;\ 5)\): \(\mathrm{P}(M \cap K) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
\(\mathrm{P}(M) \cdot \mathrm{P}(K) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} = \mathrm{P}(M \cap K)\) — числа равны, события независимы.
б) Событию \(T\) благоприятствуют шесть пар с первым числом 5: \(\mathrm{P}(T) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Событию \(S\) благоприятствуют пары, у которых \(|a - b| \leqslant 2\), где \(a\) — очки первого броска, \(b\) — второго:
при \(a = 1\) подходят \(b = 1;\ 2;\ 3\) — 3 пары;
при \(a = 2\) подходят \(b = 1;\ 2;\ 3;\ 4\) — 4 пары;
при \(a = 3\) подходят \(b = 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\) — 5 пар;
при \(a = 4\) подходят \(b = 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\) — 5 пар;
при \(a = 5\) подходят \(b = 3;\ 4;\ 5;\ 6\) — 4 пары;
при \(a = 6\) подходят \(b = 4;\ 5;\ 6\) — 3 пары.
Всего \(3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 = 24\) исхода: \(\mathrm{P}(S) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\).
Пересечению \(T \cap S\) благоприятствуют четыре пары \((5;\ 3)\), \((5;\ 4)\), \((5;\ 5)\), \((5;\ 6)\): \(\mathrm{P}(T \cap S) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\).
\(\mathrm{P}(T) \cdot \mathrm{P}(S) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} = \mathrm{P}(T \cap S)\) — числа равны, события независимы.
Ответ: а) да, события \(M\) и \(K\) независимы; б) да, события \(T\) и \(S\) независимы.
Сопоставим каждому исходу пару чисел (первый бросок; второй бросок). Всего исходов \(n = 6 \cdot 6 = 36\), и у правильной кости все они равновозможны.
а) Событию \(M\) «при первом броске выпала тройка» благоприятствуют шесть пар — \((3;\ 1)\), \((3;\ 2)\), \((3;\ 3)\), \((3;\ 4)\), \((3;\ 5)\), \((3;\ 6)\), — поэтому \(\mathrm{P}(M) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Сумма двух чисел чётна тогда, когда оба числа чётны или оба нечётны. Чётное число очков при каждом броске выпадает тремя способами (2, 4 или 6), поэтому пар с двумя чётными числами ровно \(3 \cdot 3 = 9\); столько же пар с двумя нечётными числами. Событию \(K\) «сумма выпавших очков чётна» благоприятствуют \(9 + 9 = 18\) исходов, поэтому \(\mathrm{P}(K) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).
Пересечению \(M \cap K\) благоприятствуют пары, в которых первое число 3, а сумма чётна, то есть второе число тоже нечётно: \((3;\ 1)\), \((3;\ 3)\), \((3;\ 5)\). Их три, поэтому \(\mathrm{P}(M \cap K) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
Равенство из определения независимых событий выполняется: \[\mathrm{P}(M) \cdot \mathrm{P}(K) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} = \mathrm{P}(M \cap K).\]
б) Событию \(T\) «при первом броске выпало 5 очков» благоприятствуют шесть пар с первым числом 5, поэтому \(\mathrm{P}(T) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Обозначим через \(a\) число очков при первом броске, через \(b\) — число очков при втором. Событию \(S\) «количество выпавших очков различается не более чем на 2» благоприятствуют пары, для которых \(|a - b| \leqslant 2\), то есть второе число отличается от первого не более чем на 2 и остаётся в пределах от 1 до 6. Пересчитаем такие пары по первому броску:
при \(a = 1\) подходят \(b = 1;\ 2;\ 3\) — 3 пары;
при \(a = 2\) подходят \(b = 1;\ 2;\ 3;\ 4\) — 4 пары;
при \(a = 3\) подходят \(b = 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\) — 5 пар;
при \(a = 4\) подходят \(b = 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\) — 5 пар;
при \(a = 5\) подходят \(b = 3;\ 4;\ 5;\ 6\) — 4 пары;
при \(a = 6\) подходят \(b = 4;\ 5;\ 6\) — 3 пары.
Всего благоприятствующих исходов \(3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 = 24\), поэтому \(\mathrm{P}(S) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\).
Пересечению \(T \cap S\) благоприятствуют пары с первым числом 5, у которых второе число отличается от 5 не более чем на 2: \((5;\ 3)\), \((5;\ 4)\), \((5;\ 5)\), \((5;\ 6)\). Их четыре, поэтому \(\mathrm{P}(T \cap S) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\).
Равенство из определения независимых событий выполняется: \[\mathrm{P}(T) \cdot \mathrm{P}(S) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} = \mathrm{P}(T \cap S).\]
Ответ: а) да, события \(M\) и \(K\) независимы; б) да, события \(T\) и \(S\) независимы.
