Страница 99 номер 177, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
На рисунке 97 изображено дерево случайного эксперимента. Найдите вероятность цепи: а) \(SACG\); б) \(SHLM\); в) \(SQWU\).
Вероятность цепи равна произведению подписей у её рёбер, а недостающие подписи восстанавливаются: сумма вероятностей в точке ветвления равна 1.
а) Вершина \(G\) лежит под вершиной \(E\), а вершина \(E\) — под вершиной \(C\), поэтому цепь из \(S\) в \(G\) — это \(SACEG\).
У вершины \(A\) подписано только ребро \(AB\): \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) — вероятность ребра \(AC\).
У вершины \(C\) подписано только ребро \(CD\): \(1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\) — вероятность ребра \(CE\).
У вершины \(E\) подписано только ребро \(EF\): \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) — вероятность ребра \(EG\).
\[\mathrm{P}(SACEG) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{81} \approx 0{,}025.\]
б) У вершины \(H\) подписано только ребро \(HK\): \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) — вероятность ребра \(HL\).
У вершины \(L\) подписано только ребро \(LN\): \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) — вероятность ребра \(LM\).
\[\mathrm{P}(SHLM) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111.\]
в) У вершины \(Q\) подписано только ребро \(QR\): \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) — вероятность ребра \(QW\).
Из вершины \(W\) выходят три ребра, подписаны \(WT\) и \(WV\): \(1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6 - 1 - 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) — вероятность ребра \(WU\).
\[\mathrm{P}(SQWU) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(SACEG) = \dfrac{2}{81} \approx 0{,}025\); б) \(\mathrm{P}(SHLM) = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}111\); в) \(\mathrm{P}(SQWU) = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}111\).
На рисунке 97 изображено дерево случайного эксперимента. Найдите вероятность цепи: а) \(SACG\); б) \(SHLM\); в) \(SQWU\).
Вероятность цепи равна произведению вероятностей, подписанных у её рёбер. Часть рёбер на рисунке не подписана, но недостающие вероятности восстанавливаются: сумма вероятностей в каждой точке ветвления равна 1.
а) Вершина \(G\) лежит под вершиной \(E\), а вершина \(E\) — под вершиной \(C\), поэтому цепь из \(S\) в \(G\) — это \(SACEG\).
У вершины \(A\) два выходящих ребра, из них подписано только ребро \(AB\) числом \(\frac{1}{3}\), поэтому у ребра \(AC\) вероятность \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
У вершины \(C\) два выходящих ребра, из них подписано только ребро \(CD\) числом \(\frac{5}{6}\), поэтому у ребра \(CE\) вероятность \(1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\).
У вершины \(E\) два выходящих ребра, из них подписано только ребро \(EF\) числом \(\frac{1}{3}\), поэтому у ребра \(EG\) вероятность \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Перемножив вероятности вдоль цепи, получаем
\[\mathrm{P}(SACEG) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{81} \approx 0{,}025.\]
б) У вершины \(H\) два выходящих ребра, из них подписано только ребро \(HK\) числом \(\frac{1}{3}\), поэтому у ребра \(HL\) вероятность \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). У вершины \(L\) два выходящих ребра, из них подписано только ребро \(LN\) числом \(\frac{1}{2}\), поэтому у ребра \(LM\) вероятность \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Значит,
\[\mathrm{P}(SHLM) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111.\]
в) У вершины \(Q\) два выходящих ребра, из них подписано только ребро \(QR\) числом \(\frac{1}{3}\), поэтому у ребра \(QW\) вероятность \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). Из вершины \(W\) выходят три ребра, подписаны два из них — \(WT\) числом \(\frac{1}{6}\) и \(WV\) числом \(\frac{1}{3}\), поэтому у ребра \(WU\) вероятность
\[1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6 - 1 - 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\]
Значит, \(\mathrm{P}(SQWU) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(SACEG) = \dfrac{2}{81} \approx 0{,}025\); б) \(\mathrm{P}(SHLM) = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}111\); в) \(\mathrm{P}(SQWU) = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}111\).
