Страница 109 номер 203, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Из цифр 0, 1 и 2 составляют всевозможные различные последовательности (троичные последовательности). Сколько существует троичных последовательностей длины: а) 1; б) 2; в) 5; г) \(n\)?
Троичная последовательность длины \(n\) — упорядоченный набор из \(n\) цифр: на каждом месте независимо стоит одна из трёх цифр множества \(\{0,\ 1,\ 2\}\). Нуль на первом месте не запрещён: речь о последовательностях цифр, а не о числах.
а) Последовательность длины 1 — одна цифра, таких последовательностей 3: \(0;\ 1;\ 2\).
б) \(3 \cdot 3 = 9\) — на каждом из двух мест одна из трёх цифр.
в) \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 = 243\) — мест пять, и на каждом одна из трёх цифр.
г) Все \(n\) множеств совпадают с множеством \(\{0,\ 1,\ 2\}\), в котором 3 элемента, поэтому троичных последовательностей длины \(n\) ровно \[\underbrace{3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3}_{n\ \text{множителей}} = 3^n.\]
Ответ: а) 3; б) 9; в) 243; г) \(3^n\) троичных последовательностей.
Из цифр 0, 1 и 2 составляют всевозможные различные последовательности (троичные последовательности). Сколько существует троичных последовательностей длины: а) 1; б) 2; в) 5; г) \(n\)?
Троичная последовательность длины \(n\) — это упорядоченный набор из \(n\) цифр, каждая из которых равна 0, 1 или 2. На каждом месте набора стоит один из трёх элементов множества \(\{0,\ 1,\ 2\}\), и выбор на разных местах независим. Нуль на первом месте ничем не запрещён: речь идёт о последовательностях цифр, а не о числах, поэтому набор \(0;\ 0;\ 1\) — такая же троичная последовательность, как и остальные.
а) Последовательность длины 1 — это одна цифра, и таких последовательностей 3: \(0;\ 1;\ 2\).
б) \(3 \cdot 3 = 9\) — на каждом из двух мест независимо стоит одна из трёх цифр.
в) \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 = 243\) — мест пять, и на каждом одна из трёх цифр.
г) По правилу умножения для нескольких множеств набор \((a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n)\), у которого первый элемент выбирается из множества \(A_1\), второй — из множества \(A_2\) и так далее, можно составить \(k_1 k_2 \ldots k_n\) способами, где \(k_1\), \(k_2\), ..., \(k_n\) — числа элементов этих множеств. Здесь все \(n\) множеств совпадают с множеством \(\{0,\ 1,\ 2\}\), в котором 3 элемента, поэтому троичных последовательностей длины \(n\) ровно \[\underbrace{3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3}_{n\ \text{множителей}} = 3^n.\]
Ответ: а) 3; б) 9; в) 243; г) \(3^n\) троичных последовательностей.
