Страница 199 номер 431, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\), … — независимые величины с распределением \(G\left(\frac{1}{3}\right)\), \(Y_n = \frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}\) — среднее арифметическое первых \(n\) из них.
Распределены они одинаково, поэтому ожидание и дисперсия у каждой одни и те же; вероятность успеха \(p = \frac{1}{3}\), вероятность неудачи \(q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\): \[\mathrm{E}X_k = \frac{1}{p} = 1 : \frac{1}{3} = 3, \qquad \mathrm{D}X_k = \frac{q}{p^2} = \frac{2}{3} : \frac{1}{9} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6.\]
а) Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания: \[\mathrm{E}Y_n = \mathrm{E}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\right) = \frac{\mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \ldots + \mathrm{E}X_n}{n} = \frac{3n}{n} = 3.\]
Число 3 от \(n\) не зависит, значит, \(\mathrm{E}Y_n\) постоянна.
б) Величины независимы, поэтому дисперсия суммы равна сумме дисперсий, а постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате: \[\mathrm{D}Y_n = \mathrm{D}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2}\left(\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \ldots + \mathrm{D}X_n\right) = \frac{1}{n^2} \cdot 6n = \frac{6}{n}.\]
С ростом \(n\) дробь \(\frac{6}{n}\) убывает и становится меньше любого наперёд заданного положительного числа: \(\mathrm{D}Y_1 = 6\), \(\mathrm{D}Y_2 = 3\), \(\mathrm{D}Y_6 = 1\), \(\mathrm{D}Y_{600} = 0{,}01\), то есть \(\mathrm{D}Y_n\) стремится к нулю.
Ответ: а) \(\mathrm{E}Y_n = 3\) при каждом \(n\) — постоянна; б) \(\mathrm{D}Y_n = \frac{6}{n}\) — убывает и стремится к нулю.
Дана бесконечная последовательность независимых случайных величин \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_n\), …, и каждая из них имеет геометрическое распределение \(G\left(\frac{1}{3}\right)\). Величина \(Y_n = \frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}\) — среднее арифметическое первых \(n\) величин этой последовательности; надо выяснить, как ведут себя с ростом \(n\) её математическое ожидание и дисперсия.
Все величины последовательности распределены одинаково, поэтому у каждой из них одни и те же математическое ожидание и дисперсия. Для геометрического распределения с вероятностью успеха \(p = \frac{1}{3}\) вероятность неудачи равна \(q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\), математическое ожидание равно единице, делённой на вероятность успеха, а дисперсия — вероятности неудачи, делённой на квадрат вероятности успеха: \[\mathrm{E}X_k = \frac{1}{p} = 1 : \frac{1}{3} = 3, \qquad \mathrm{D}X_k = \frac{q}{p^2} = \frac{2}{3} : \frac{1}{9} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6.\]
а) Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а постоянный множитель выносится за знак математического ожидания: \[\mathrm{E}Y_n = \mathrm{E}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\right) = \frac{\mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \ldots + \mathrm{E}X_n}{n} = \frac{3n}{n} = 3.\]
Число 3 от \(n\) не зависит: при каждом \(n\) математическое ожидание \(\mathrm{E}Y_n\) равно 3. Значит, оно постоянно.
б) Величины последовательности независимы, поэтому дисперсия суммы равна сумме дисперсий; постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате: \[\begin{aligned} &\mathrm{D}Y_n = \mathrm{D}\left(\frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}\right) = {} \\ &= \frac{1}{n^2}\left(\mathrm{D}X_1 + \mathrm{D}X_2 + \ldots + \mathrm{D}X_n\right) = \frac{1}{n^2} \cdot 6n = \frac{6}{n}. \end{aligned}\]
Слагаемых в скобках \(n\) штук, каждое равно 6, поэтому их сумма равна \(6n\), а после деления на \(n^2\) остаётся \(\frac{6}{n}\).
С ростом \(n\) знаменатель дроби \(\frac{6}{n}\) растёт, а сама дробь убывает: \(\mathrm{D}Y_1 = 6\), \(\mathrm{D}Y_2 = 3\), \(\mathrm{D}Y_6 = 1\), \(\mathrm{D}Y_{600} = 0{,}01\). Она становится меньше любого наперёд заданного положительного числа, то есть стремится к нулю. Именно это и означает, что разброс среднего арифметического вокруг числа 3 с ростом числа наблюдений уменьшается.
Ответ: а) \(\mathrm{E}Y_n = 3\) при каждом \(n\) — постоянна; б) \(\mathrm{D}Y_n = \frac{6}{n}\) — убывает и стремится к нулю.
