Страница 157 номер 772, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(\frac{y+1}{(y+1)(y+2)} = y+2\).
Общий знаменатель — \((y + 1)(y + 2)\): \[\begin{aligned} \frac{y + 1}{(y + 1)(y + 2)} - (y + 2) &= 0; \\ \frac{y + 1 - (y + 1)(y + 2)^2}{(y + 1)(y + 2)} &= 0; \\ \frac{(y + 1)\left(1 - (y + 2)^2\right)}{(y + 1)(y + 2)} &= 0. \end{aligned}\] Разложим \(1 - (y + 2)^2\) на множители: \[\begin{aligned} &1 - (y + 2)^2 = (1 - y - 2)(1 + y + 2) = {} \\ &= (-y - 1)(y + 3) = -(y + 1)(y + 3). \end{aligned}\] Значит, уравнение принимает вид \[\frac{-(y + 1)^2(y + 3)}{(y + 1)(y + 2)} = 0.\] Корни числителя — числа \(-3\) и \(-1\). При \(y = -1\) знаменатель \((y + 1)(y + 2)\) обращается в нуль, значит, \(-1\) не является корнем уравнения. При \(y = -3\) знаменатель равен \((-3 + 1)(-3 + 2) = (-2) \cdot (-1) = 2\) — не нуль, значит, исходное уравнение имеет единственный корень \(-3\).
Ответ: \(-3\).
Решите уравнение \(\frac{y+1}{(y+1)(y+2)} = y+2\).
Перенесём выражение \(y + 2\) в левую часть уравнения и приведём к общему знаменателю \((y + 1)(y + 2)\): \[\begin{aligned} \frac{y + 1}{(y + 1)(y + 2)} - (y + 2) &= 0; \\ \frac{y + 1 - (y + 1)(y + 2)^2}{(y + 1)(y + 2)} &= 0; \\ \frac{(y + 1)\left(1 - (y + 2)^2\right)}{(y + 1)(y + 2)} &= 0. \end{aligned}\] Разложим выражение \(1 - (y + 2)^2\) на множители по формуле разности квадратов: \[\begin{aligned} &1 - (y + 2)^2 = (1 - y - 2)(1 + y + 2) = {} \\ &= (-y - 1)(y + 3) = -(y + 1)(y + 3). \end{aligned}\] Значит, уравнение принимает вид \[\frac{-(y + 1)^2(y + 3)}{(y + 1)(y + 2)} = 0.\] Корни числителя — числа \(-3\) и \(-1\). При \(y = -1\) знаменатель \((y + 1)(y + 2)\) обращается в нуль, значит, \(-1\) не является корнем уравнения. При \(y = -3\) знаменатель равен \((-3 + 1)(-3 + 2) = (-2) \cdot (-1) = 2\) — не нуль, значит, исходное уравнение имеет единственный корень \(-3\).
Ответ: \(-3\).
