Страница 156 номер 764, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сократите дробь: а) \(\frac{y\sqrt{-5x}}{\sqrt{xy}}\); б) \(\frac{64+a}{8-\sqrt{-a}}\).
а) Дробь имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны, а корень в знаменателе не равен нулю: \[\begin{cases} -5x \geqslant 0, \\ xy > 0. \end{cases}\] Из первого неравенства \(x \leqslant 0\), а из второго \(x \neq 0\), поэтому \(x < 0\); тогда из неравенства \(xy > 0\) получаем \(y < 0\). Значит, дробь определена при \(x < 0\) и \(y < 0\).
При \(y < 0\) верно равенство \(y = -\sqrt{y^2}\): отрицательный множитель под знак корня не вносится, минус остаётся перед корнем. Подкоренные выражения неотрицательны, а \(xy > 0\), поэтому \[\frac{y\sqrt{-5x}}{\sqrt{xy}} = -\frac{\sqrt{y^2} \cdot \sqrt{-5x}}{\sqrt{xy}} = -\sqrt{\frac{-5xy^2}{xy}} = -\sqrt{-5y}.\]
б) Условия, при которых дробь имеет смысл: \[\begin{cases} -a \geqslant 0, \\ 8 - \sqrt{-a} \neq 0. \end{cases}\] Второе условие означает, что \(\sqrt{-a} \neq 8\), то есть \(-a \neq 64\). Значит, дробь определена при \(a \leqslant 0\) и \(a \neq -64\).
При \(a \leqslant 0\) верно равенство \(-a = (\sqrt{-a})^2\), поэтому \[64 + a = 8^2 - (\sqrt{-a})^2 = (8 - \sqrt{-a})(8 + \sqrt{-a}).\] Сократим дробь на множитель \(8 - \sqrt{-a}\), не равный нулю: \[\frac{64 + a}{8 - \sqrt{-a}} = \frac{(8 - \sqrt{-a})(8 + \sqrt{-a})}{8 - \sqrt{-a}} = 8 + \sqrt{-a}.\]
Ответ: а) \(-\sqrt{-5y}\); б) \(8 + \sqrt{-a}\).
Сократите дробь: а) \(\frac{y\sqrt{-5x}}{\sqrt{xy}}\); б) \(\frac{64+a}{8-\sqrt{-a}}\).
а) Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а корень в знаменателе не равен нулю, поэтому запишем условия, при которых дробь имеет смысл, в виде системы: \[\begin{cases} -5x \geqslant 0, \\ xy > 0. \end{cases}\] Из первого неравенства \(x \leqslant 0\), а из второго \(x \neq 0\), поэтому \(x < 0\); тогда из неравенства \(xy > 0\) получаем \(y < 0\). Значит, множество допустимых значений переменных для этой дроби задаётся условиями \(x < 0\) и \(y < 0\).
При \(y < 0\) верно равенство \(y = -\sqrt{y^2}\): отрицательный множитель под знак корня не вносится, минус остаётся перед корнем. Подкоренные выражения неотрицательны, а \(xy > 0\), поэтому корни можно объединить в один: \[\frac{y\sqrt{-5x}}{\sqrt{xy}} = -\frac{\sqrt{y^2} \cdot \sqrt{-5x}}{\sqrt{xy}} = -\sqrt{\frac{-5xy^2}{xy}} = -\sqrt{-5y}.\]
б) Запишем условия, при которых дробь имеет смысл, в виде системы: \[\begin{cases} -a \geqslant 0, \\ 8 - \sqrt{-a} \neq 0. \end{cases}\] Второе условие означает, что \(\sqrt{-a} \neq 8\), то есть \(-a \neq 64\). Значит, множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся условиями \(a \leqslant 0\) и \(a \neq -64\).
При \(a \leqslant 0\) верно равенство \(-a = (\sqrt{-a})^2\), поэтому числитель раскладывается на множители по формуле разности квадратов: \[64 + a = 8^2 - (\sqrt{-a})^2 = (8 - \sqrt{-a})(8 + \sqrt{-a}).\] Сократим дробь на множитель \(8 - \sqrt{-a}\), не равный нулю: \[\frac{64 + a}{8 - \sqrt{-a}} = \frac{(8 - \sqrt{-a})(8 + \sqrt{-a})}{8 - \sqrt{-a}} = 8 + \sqrt{-a}.\]
Ответ: а) \(-\sqrt{-5y}\); б) \(8 + \sqrt{-a}\).
