Страница 158 номер 789, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каком значении \(b\) выражение \(\frac{2}{(0{,}9b+2)^2+(0{,}9b-2)^2}\) принимает наибольшее значение? Найдите это наибольшее значение.
Знаменатель дроби: \[\begin{aligned} &(0{,}9b + 2)^2 + (0{,}9b - 2)^2 = {} \\ &= 0{,}81b^2 + 3{,}6b + 4 + 0{,}81b^2 - 3{,}6b + 4 = 1{,}62b^2 + 8. \end{aligned}\] \(b^2 \geqslant 0\) при любом \(b\), поэтому \(1{,}62b^2 + 8 \geqslant 8\), а значит, \(\frac{2}{1{,}62b^2 + 8} \leqslant \frac{2}{8}\) — из двух дробей с одинаковым положительным числителем и положительными знаменателями больше та, у которой знаменатель меньше. Равенство выполняется только при \(1{,}62b^2 + 8 = 8\), то есть при \(b^2 = 0\), \(b = 0\). Следовательно, наибольшее значение выражение принимает при \(b = 0\), и это значение равно \[\frac{2}{(0{,}9 \cdot 0 + 2)^2 + (0{,}9 \cdot 0 - 2)^2} = \frac{2}{4 + 4} = 0{,}25.\]
Ответ: при \(b = 0\); \(0{,}25\).
При каком значении \(b\) выражение \(\frac{2}{(0{,}9b+2)^2+(0{,}9b-2)^2}\) принимает наибольшее значение? Найдите это наибольшее значение.
Преобразуем знаменатель дроби, раскрыв скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности: \[\begin{aligned} &(0{,}9b + 2)^2 + (0{,}9b - 2)^2 = {} \\ &= 0{,}81b^2 + 3{,}6b + 4 + 0{,}81b^2 - 3{,}6b + 4 = 1{,}62b^2 + 8. \end{aligned}\] Оценим значение дроби: \(b^2 \geqslant 0\) при любом \(b\), поэтому \(1{,}62b^2 + 8 \geqslant 8\), а значит, \(\frac{2}{1{,}62b^2 + 8} \leqslant \frac{2}{8}\) — из двух дробей с одинаковым положительным числителем и положительными знаменателями больше та, у которой знаменатель меньше. Равенство выполняется только тогда, когда \(1{,}62b^2 + 8 = 8\), то есть \(b^2 = 0\) и \(b = 0\). Следовательно, наибольшее значение выражение принимает при \(b = 0\), и это значение равно \[\frac{2}{(0{,}9 \cdot 0 + 2)^2 + (0{,}9 \cdot 0 - 2)^2} = \frac{2}{4 + 4} = 0{,}25.\]
Ответ: при \(b = 0\); \(0{,}25\).
