Страница 155 номер 751, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{y+5\sqrt{y}+25}{\sqrt{y}+5}\).
Множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся неравенством \(y \geqslant 0\): знаменатель \(\sqrt{y} + 5 \geqslant 5\) в нуль не обращается.
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{y} - 5\).
\((\sqrt{y} + 5)(\sqrt{y} - 5) = (\sqrt{y})^2 - 5^2 = y - 25\) — знаменатель.
В числителе \(\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = y\), поэтому \[\begin{aligned} &(y + 5\sqrt{y} + 25)(\sqrt{y} - 5) = {} \\ &= y\sqrt{y} - 5y + 5y - 25\sqrt{y} + 25\sqrt{y} - 125 = y\sqrt{y} - 125. \end{aligned}\] Следовательно, \[\frac{y + 5\sqrt{y} + 25}{\sqrt{y} + 5} = \frac{(y + 5\sqrt{y} + 25)(\sqrt{y} - 5)}{(\sqrt{y} + 5)(\sqrt{y} - 5)} = \frac{y\sqrt{y} - 125}{y - 25}.\] При \(y = 25\) исходная дробь имеет смысл, а полученная — нет, поэтому равенство верно при \(y \geqslant 0\) и \(y \neq 25\).
Ответ: \(\frac{y\sqrt{y} - 125}{y - 25}\).
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{y+5\sqrt{y}+25}{\sqrt{y}+5}\).
Множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся неравенством \(y \geqslant 0\): знаменатель \(\sqrt{y} + 5 \geqslant 5\) в нуль не обращается.
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое выражению \(\sqrt{y} + 5\), то есть \(\sqrt{y} - 5\). Знаменатель найдём по формуле разности квадратов: \((\sqrt{y} + 5)(\sqrt{y} - 5) = (\sqrt{y})^2 - 5^2 = y - 25\). В числителе умножим каждый член первого множителя на каждый член второго, учитывая, что \(\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = y\), и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} &(y + 5\sqrt{y} + 25)(\sqrt{y} - 5) = {} \\ &= y\sqrt{y} - 5y + 5y - 25\sqrt{y} + 25\sqrt{y} - 125 = y\sqrt{y} - 125. \end{aligned}\] Следовательно, \[\frac{y + 5\sqrt{y} + 25}{\sqrt{y} + 5} = \frac{(y + 5\sqrt{y} + 25)(\sqrt{y} - 5)}{(\sqrt{y} + 5)(\sqrt{y} - 5)} = \frac{y\sqrt{y} - 125}{y - 25}.\] При \(y = 25\) исходная дробь имеет смысл, а полученная — нет, поэтому равенство верно при \(y \geqslant 0\) и \(y \neq 25\).
Ответ: \(\frac{y\sqrt{y} - 125}{y - 25}\).
