Страница 155 номер 756, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните деление: \(\frac{a+7\sqrt{a}}{4\sqrt{b}} : \frac{5\sqrt{a}+35}{b}\).
Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\): подкоренные выражения неотрицательны, знаменатели \(4\sqrt{b}\) и \(b\) не равны нулю, а делитель \(\frac{5\sqrt{a} + 35}{b}\) не равен нулю, так как его числитель \(5\sqrt{a} + 35 \geqslant 35\).
При \(a \geqslant 0\) верно равенство \(a = (\sqrt{a})^2\), поэтому \(a + 7\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 7)\); кроме того, \(5\sqrt{a} + 35 = 5(\sqrt{a} + 7)\) и \(b = (\sqrt{b})^2\).
Деление заменим умножением на дробь, обратную делителю, и сократим произведение на множитель \(\sqrt{b}(\sqrt{a} + 7)\), не равный нулю: \[\begin{aligned} &\frac{a + 7\sqrt{a}}{4\sqrt{b}} : \frac{5\sqrt{a} + 35}{b} = \frac{a + 7\sqrt{a}}{4\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{5\sqrt{a} + 35} = {} \\ &= \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 7) \cdot (\sqrt{b})^2}{4\sqrt{b} \cdot 5(\sqrt{a} + 7)} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{20} = \frac{\sqrt{ab}}{20}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{\sqrt{ab}}{20}\).
Выполните деление: \(\frac{a+7\sqrt{a}}{4\sqrt{b}} : \frac{5\sqrt{a}+35}{b}\).
Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\): подкоренные выражения неотрицательны, знаменатели \(4\sqrt{b}\) и \(b\) не равны нулю, а делитель \(\frac{5\sqrt{a} + 35}{b}\) не равен нулю, так как его числитель \(5\sqrt{a} + 35 \geqslant 35\).
Деление на дробь заменим умножением на дробь, обратную делителю. При \(a \geqslant 0\) верно равенство \(a = (\sqrt{a})^2\), поэтому \(a + 7\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 7)\); кроме того, \(5\sqrt{a} + 35 = 5(\sqrt{a} + 7)\) и \(b = (\sqrt{b})^2\). Сократим произведение на множитель \(\sqrt{b}(\sqrt{a} + 7)\), не равный нулю; произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &\frac{a + 7\sqrt{a}}{4\sqrt{b}} : \frac{5\sqrt{a} + 35}{b} = \frac{a + 7\sqrt{a}}{4\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{5\sqrt{a} + 35} = {} \\ &= \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 7) \cdot (\sqrt{b})^2}{4\sqrt{b} \cdot 5(\sqrt{a} + 7)} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{20} = \frac{\sqrt{ab}}{20}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{\sqrt{ab}}{20}\).
