Контрольные вопросы и задания на странице 156, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Уравнение, обе части которого — рациональные выражения, называется рациональным. Если обе части рационального уравнения — многочлены, уравнение называется целым (таковы, например, линейные и квадратные уравнения). Если же в уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную, уравнение называется дробно-рациональным.
Примеры:
- \(\frac{5}{x} = x - 4\) — есть деление на переменную \(x\);
- \(\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{4}{x}\) — есть деление на выражения \(x - 3\) и \(x\);
- \(\frac{1}{x^2 + 1} + 2x = 3\) — есть деление на выражение \(x^2 + 1\), хотя оно не обращается в нуль ни при каком \(x\).
Уравнение \(\frac{x - 1}{3} = 2x\) — целое, а не дробно-рациональное: в нём есть только деление на число 3, его левая часть — многочлен \(\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}\).
Ответ: дробно-рациональным называется рациональное уравнение, в котором есть деление на выражение, содержащее переменную; например, \(\frac{5}{x} = x - 4\) и \(\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{4}{x}\).
Корни уравнения вида \(\frac{P(x)}{Q(x)} = 0\) — это корни числителя, которые не являются корнями знаменателя. Поэтому возьмём числитель с двумя корнями, один из которых является корнем знаменателя, а другой — нет. Таково уравнение \(\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} = 0\). \[\begin{aligned} x^2 - 3x + 2 &= (x - 1)(x - 2); \\ x^2 - 4x + 3 &= (x - 1)(x - 3). \end{aligned}\] Числитель имеет корни 1 и 2, знаменатель — корни 1 и 3. При \(x = 1\) знаменатель обращается в нуль, значит, 1 не является корнем уравнения. При \(x = 2\) знаменатель равен \(2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\) — не нуль, значит, уравнение имеет только один корень 2.
Другой пример — числитель с единственным корнем, который не является корнем знаменателя: \(\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x + 2} = 0\). Числитель \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\) имеет единственный корень 3, знаменатель \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\) — корни 1 и 2, а при \(x = 3\) он равен \(3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 2\) — не нуль. Это уравнение тоже имеет только один корень 3.
Ответ: например, \(\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} = 0\): числитель имеет корни 1 и 2, знаменатель — корни 1 и 3, а уравнение — только один корень 2.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Корень дробно-рационального уравнения — это значение переменной, при котором знаменатели всех дробей уравнения не равны нулю и равенство верно. Значение, обращающее в нуль хотя бы один знаменатель, корнем быть не может.
Обычно все слагаемые переносят в левую часть и приводят к общему знаменателю, получая уравнение \(\frac{P(x)}{Q(x)} = 0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены. Оно равносильно системе \[\begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \neq 0. \end{cases}\] Поэтому его решения — корни числителя, которые не являются корнями знаменателя.
Уравнение, которое имеет корни: \(x - \frac{6}{x} = 1\). \[\begin{aligned} x - \frac{6}{x} - 1 &= 0; \\ \frac{x^2 - 6 - x}{x} &= 0; \\ \frac{x^2 - x - 6}{x} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - x - 6 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{1 - 5}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{1 + 5}{2} = 3. \end{aligned}\] При этих значениях знаменатель \(x\) не обращается в нуль, значит, уравнение имеет два корня: \(-2\) и \(3\).
Уравнение, у которого один из корней числителя обращает знаменатель в нуль: \(\frac{x^2}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}\). \[\begin{aligned} \frac{x^2}{x + 2} - \frac{4}{x + 2} &= 0; \\ \frac{x^2 - 4}{x + 2} &= 0. \end{aligned}\] Числитель \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\) имеет корни \(-2\) и \(2\). При \(x = -2\) знаменатель \(x + 2\) обращается в нуль, значит, \(-2\) не является корнем уравнения: при этом значении обе части уравнения не имеют смысла. При \(x = 2\) знаменатель равен 4 — не нуль, значит, уравнение имеет единственный корень 2.
Уравнение, которое не имеет решений: \(\frac{x}{x - 1} = 1\). \[\begin{aligned} \frac{x}{x - 1} - 1 &= 0; \\ \frac{x - (x - 1)}{x - 1} &= 0; \\ \frac{1}{x - 1} &= 0. \end{aligned}\] Числитель равен 1 и не обращается в нуль ни при каком \(x\), значит, уравнение не имеет решений.
Ответ: решить дробно-рациональное уравнение — значит найти все его корни (значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю и равенство верно) или доказать, что корней нет; например, уравнение \(x - \frac{6}{x} = 1\) имеет корни \(-2\) и \(3\), уравнение \(\frac{x^2}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}\) — единственный корень \(2\) (число \(-2\) обращает знаменатель в нуль), а уравнение \(\frac{x}{x - 1} = 1\) не имеет решений.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби — значит преобразовать её в дробь, знаменатель которой не содержит знака корня. Для этого числитель и знаменатель дроби умножают на одно и то же выражение, не равное нулю: если знаменатель — корень, то на этот же корень; если знаменатель — сумма или разность, содержащая корень, то на выражение, сопряжённое знаменателю, и тогда в знаменателе получается разность квадратов.
Знаменатель — корень из числа: \[\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}.\] Знаменатель — разность корней; умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{7} + \sqrt{3}\): \[\begin{aligned} &\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \sqrt{7} + \sqrt{3}. \end{aligned}\]
Знаменатель — корень из выражения с переменной. Множество допустимых значений переменной для дроби \(\frac{6}{\sqrt{3x}}\) задаётся неравенством \(x > 0\); при этих значениях \[\frac{6}{\sqrt{3x}} = \frac{6\sqrt{3x}}{\sqrt{3x} \cdot \sqrt{3x}} = \frac{6\sqrt{3x}}{3x} = \frac{2\sqrt{3x}}{x}.\]
Знаменатель — сумма с корнем из переменной. Множество допустимых значений переменной для дроби \(\frac{2}{\sqrt{x} + 3}\) задаётся неравенством \(x \geqslant 0\). Умножим числитель и знаменатель на выражение \(\sqrt{x} - 3\), сопряжённое знаменателю: \[\frac{2}{\sqrt{x} + 3} = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 9}.\] При \(x = 9\) исходная дробь имеет смысл, а полученная — нет, поэтому равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(x \neq 9\).
Ответ: числитель и знаменатель умножают на тот же корень или на выражение, сопряжённое знаменателю; например, \(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}\), \(\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \sqrt{7} + \sqrt{3}\), \(\frac{6}{\sqrt{3x}} = \frac{2\sqrt{3x}}{x}\), а дробь \(\frac{2}{\sqrt{x} + 3}\) приводится к виду \(\frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 9}\).
Уравнение, обе части которого — рациональные выражения, называется рациональным. Если обе части рационального уравнения — многочлены, уравнение называется целым (таковы, например, линейные и квадратные уравнения). Если же в уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную, уравнение называется дробно-рациональным.
Примеры дробно-рациональных уравнений:
- \(\frac{5}{x} = x - 4\) — есть деление на переменную \(x\);
- \(\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{4}{x}\) — есть деление на выражения \(x - 3\) и \(x\);
- \(\frac{1}{x^2 + 1} + 2x = 3\) — есть деление на выражение \(x^2 + 1\), хотя оно не обращается в нуль ни при каком \(x\).
Уравнение \(\frac{x - 1}{3} = 2x\) дробно-рациональным не является: в нём есть только деление на число 3, его левая часть — многочлен \(\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}\), поэтому это уравнение целое.
Ответ: дробно-рациональным называется рациональное уравнение, в котором есть деление на выражение, содержащее переменную; например, \(\frac{5}{x} = x - 4\) и \(\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{4}{x}\).
Корни уравнения вида \(\frac{P(x)}{Q(x)} = 0\) — это корни числителя, которые не являются корнями знаменателя. Поэтому возьмём числитель с двумя корнями, один из которых является корнем знаменателя, а другой — нет. Таково уравнение \[\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} = 0.\] Разложим числитель и знаменатель на множители: \[\begin{aligned} x^2 - 3x + 2 &= (x - 1)(x - 2); \\ x^2 - 4x + 3 &= (x - 1)(x - 3). \end{aligned}\] Числитель имеет корни 1 и 2, знаменатель — корни 1 и 3. При \(x = 1\) знаменатель обращается в нуль, значит, 1 не является корнем уравнения. При \(x = 2\) знаменатель равен \(2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\) — не нуль, значит, уравнение имеет только один корень 2.
Другой пример — числитель с единственным корнем, который не является корнем знаменателя: \(\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x + 2} = 0\). Числитель \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\) имеет единственный корень 3, знаменатель \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\) — корни 1 и 2, а при \(x = 3\) он равен \(3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 2\) — не нуль. Это уравнение тоже имеет только один корень 3.
Ответ: например, \(\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} = 0\): числитель имеет корни 1 и 2, знаменатель — корни 1 и 3, а уравнение — только один корень 2.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Корень дробно-рационального уравнения — это значение переменной, при котором знаменатели всех дробей уравнения не равны нулю и равенство верно. Значение, обращающее в нуль хотя бы один знаменатель, корнем быть не может.
Обычно все слагаемые переносят в левую часть и приводят к общему знаменателю, получая уравнение \(\frac{P(x)}{Q(x)} = 0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены. Оно равносильно системе \[\begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \neq 0, \end{cases}\] поэтому его решения — корни числителя, которые не являются корнями знаменателя.
Уравнение, которое имеет корни: \(x - \frac{6}{x} = 1\). Решим его: \[\begin{aligned} x - \frac{6}{x} - 1 &= 0; \\ \frac{x^2 - 6 - x}{x} &= 0; \\ \frac{x^2 - x - 6}{x} &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - x - 6 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{1 - 5}{2} = -2; \\ x_2 &= \frac{1 + 5}{2} = 3. \end{aligned}\] При этих значениях знаменатель \(x\) не обращается в нуль, значит, уравнение имеет два корня: \(-2\) и \(3\).
Уравнение, у которого один из корней числителя обращает знаменатель в нуль: \(\frac{x^2}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}\). Решим его: \[\begin{aligned} \frac{x^2}{x + 2} - \frac{4}{x + 2} &= 0; \\ \frac{x^2 - 4}{x + 2} &= 0. \end{aligned}\] Числитель \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\) имеет корни \(-2\) и \(2\). При \(x = -2\) знаменатель \(x + 2\) обращается в нуль, значит, \(-2\) не является корнем уравнения: при этом значении обе части уравнения не имеют смысла. При \(x = 2\) знаменатель равен 4 — не нуль, значит, уравнение имеет единственный корень 2.
Уравнение, которое не имеет решений: \(\frac{x}{x - 1} = 1\). Решим его: \[\begin{aligned} \frac{x}{x - 1} - 1 &= 0; \\ \frac{x - (x - 1)}{x - 1} &= 0; \\ \frac{1}{x - 1} &= 0. \end{aligned}\] Числитель равен 1 и не обращается в нуль ни при каком \(x\), значит, уравнение не имеет решений.
Ответ: решить дробно-рациональное уравнение — значит найти все его корни (значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю и равенство верно) или доказать, что корней нет; например, уравнение \(x - \frac{6}{x} = 1\) имеет корни \(-2\) и \(3\), уравнение \(\frac{x^2}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}\) — единственный корень \(2\) (число \(-2\) обращает знаменатель в нуль), а уравнение \(\frac{x}{x - 1} = 1\) не имеет решений.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби — значит преобразовать её в дробь, знаменатель которой не содержит знака корня. Для этого числитель и знаменатель дроби умножают на одно и то же выражение, не равное нулю: если знаменатель — корень, то на этот же корень; если знаменатель — сумма или разность, содержащая корень, то на выражение, сопряжённое знаменателю, и тогда в знаменателе получается разность квадратов.
Знаменатель — корень из числа: \[\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}.\] Знаменатель — разность корней; умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{7} + \sqrt{3}\): \[\begin{aligned} &\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \sqrt{7} + \sqrt{3}. \end{aligned}\]
Знаменатель — корень из выражения с переменной. Множество допустимых значений переменной для дроби \(\frac{6}{\sqrt{3x}}\) задаётся неравенством \(x > 0\); при этих значениях \[\frac{6}{\sqrt{3x}} = \frac{6\sqrt{3x}}{\sqrt{3x} \cdot \sqrt{3x}} = \frac{6\sqrt{3x}}{3x} = \frac{2\sqrt{3x}}{x}.\]
Знаменатель — сумма с корнем из переменной. Множество допустимых значений переменной для дроби \(\frac{2}{\sqrt{x} + 3}\) задаётся неравенством \(x \geqslant 0\). Умножим числитель и знаменатель на выражение \(\sqrt{x} - 3\), сопряжённое знаменателю: \[\frac{2}{\sqrt{x} + 3} = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 9}.\] При \(x = 9\) исходная дробь имеет смысл, а полученная — нет, поэтому равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(x \neq 9\).
Ответ: числитель и знаменатель умножают на тот же корень или на выражение, сопряжённое знаменателю; например, \(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}\), \(\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \sqrt{7} + \sqrt{3}\), \(\frac{6}{\sqrt{3x}} = \frac{2\sqrt{3x}}{x}\), а дробь \(\frac{2}{\sqrt{x} + 3}\) приводится к виду \(\frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 9}\).
