Страница 157 номер 775, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Разложим знаменатели на множители: \[\begin{aligned} x^2 - 1 &= (x - 1)(x + 1); \\ x^2 - 2x - 3 &= (x + 1)(x - 3); \\ x^2 - 4x + 3 &= (x - 1)(x - 3). \end{aligned}\] Перенесём дробь из правой части уравнения в левую и приведём все дроби к общему знаменателю \((x - 1)(x + 1)(x - 3)\): \[\begin{aligned} \frac{5x^2}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{2x^2}{(x + 1)(x - 3)} - \frac{4x^2 - 9x}{(x - 1)(x - 3)} &= 0; \\ \frac{5x^2(x - 3) + 2x^2(x - 1) - (4x^2 - 9x)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)} &= 0. \end{aligned}\] Упростим числитель и разложим его на множители: \[\begin{aligned} &5x^2(x - 3) + 2x^2(x - 1) - (4x^2 - 9x)(x + 1) = {} \\ &= 5x^3 - 15x^2 + 2x^3 - 2x^2 - 4x^3 - 4x^2 + 9x^2 + 9x = {} \\ &= 3x^3 - 12x^2 + 9x = 3x(x^2 - 4x + 3) = {} \\ &= 3x(x - 1)(x - 3). \end{aligned}\] Значит, уравнение принимает вид \[\frac{3x(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)} = 0.\] Корни числителя — числа 0, 1 и 3. Числа 1 и 3 являются корнями знаменателя \((x - 1)(x + 1)(x - 3)\), поэтому они не являются корнями уравнения. При \(x = 0\) знаменатель равен \((0 - 1)(0 + 1)(0 - 3) = 3\) — не нуль, значит, исходное уравнение имеет единственный корень 0.

Ответ: \(0\).