Страница 155 номер 759, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите совокупность: а) \(\left[\begin{array}{l} 2x < 8 \\ -9x < -18; \end{array}\right.\) б) \(\left[\begin{array}{l} 8x - 5 \ge 19 \\ 4x - 6 > 33. \end{array}\right.\)
а) Первое неравенство: \[\begin{aligned} 2x &< 8; \qquad | : 2 \\ x &< 4. \end{aligned}\] Второе неравенство (при делении на отрицательное число \(-9\) знак неравенства меняется на противоположный): \[\begin{aligned} -9x &< -18; \qquad | : (-9) \\ x &> 2. \end{aligned}\] Множества решений неравенств — лучи \((-\infty; 4)\) и \((2; +\infty)\):
Любое число удовлетворяет хотя бы одному из неравенств: если \(x < 4\), то верно первое неравенство, а если \(x \geqslant 4\), то \(x > 2\), так как \(4 > 2\), и верно второе неравенство. Значит, множество решений совокупности — вся числовая прямая.
б) Первое неравенство: \[\begin{aligned} 8x - 5 &\geqslant 19; \\ 8x &\geqslant 24; \qquad | : 8 \\ x &\geqslant 3. \end{aligned}\] Второе неравенство: \[\begin{aligned} 4x - 6 &> 33; \\ 4x &> 39; \qquad | : 4 \\ x &> 9{,}75. \end{aligned}\] Множества решений неравенств — лучи \([3; +\infty)\) и \((9{,}75; +\infty)\):
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей. Каждое число луча \((9{,}75; +\infty)\) больше 3: если \(x > 9{,}75\) и \(9{,}75 > 3\), то \(x > 3\). Значит, луч \((9{,}75; +\infty)\) целиком содержится в луче \([3; +\infty)\), и объединение лучей — луч \([3; +\infty)\). Число 3 в него входит, так как оно удовлетворяет нестрогому неравенству \(x \geqslant 3\).
Ответ: а) \((-\infty; +\infty)\); б) \([3; +\infty)\).
Решите совокупность: а) \(\left[\begin{array}{l} 2x < 8 \\ -9x < -18; \end{array}\right.\) б) \(\left[\begin{array}{l} 8x - 5 \ge 19 \\ 4x - 6 > 33. \end{array}\right.\)
а) Решим первое неравенство, разделив обе его части на положительное число 2: \[\begin{aligned} 2x &< 8; \qquad | : 2 \\ x &< 4. \end{aligned}\] Решим второе неравенство, разделив обе его части на отрицательное число \(-9\) и поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -9x &< -18; \qquad | : (-9) \\ x &> 2. \end{aligned}\] Изобразим лучи \((-\infty; 4)\) и \((2; +\infty)\) на одной числовой прямой:
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей. Любое число удовлетворяет хотя бы одному из неравенств: если \(x < 4\), то верно первое неравенство, а если \(x \geqslant 4\), то \(x > 2\), так как \(4 > 2\), и верно второе неравенство. Значит, множество решений совокупности — вся числовая прямая.
б) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое \(-5\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 8: \[\begin{aligned} 8x - 5 &\geqslant 19; \\ 8x &\geqslant 24; \qquad | : 8 \\ x &\geqslant 3. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое \(-6\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 4: \[\begin{aligned} 4x - 6 &> 33; \\ 4x &> 39; \qquad | : 4 \\ x &> 9{,}75. \end{aligned}\] Изобразим лучи \([3; +\infty)\) и \((9{,}75; +\infty)\) на одной числовой прямой:
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей. Оба луча направлены вправо. Каждое число луча \((9{,}75; +\infty)\) больше 3: если \(x > 9{,}75\) и \(9{,}75 > 3\), то \(x > 3\). Значит, луч \((9{,}75; +\infty)\) целиком содержится в луче \([3; +\infty)\), и объединение лучей — луч \([3; +\infty)\). Число 3 в него входит, так как оно удовлетворяет нестрогому неравенству \(x \geqslant 3\).
Ответ: а) \((-\infty; +\infty)\); б) \([3; +\infty)\).
