Страница 157 номер 774, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(x^2+1-\frac{1}{x^2+1}=4{,}8\).
Так как \(x^2 + 1 > 0\) при всех \(x\), умножим обе части уравнения на \(x^2 + 1\): \[\begin{aligned} x^2 + 1 - \frac{1}{x^2 + 1} &= 4{,}8; \qquad | \cdot (x^2 + 1) \\ (x^2 + 1)^2 - 1 &= 4{,}8(x^2 + 1). \end{aligned}\] Пусть \(x^2 + 1 = t\), тогда уравнение принимает вид \[\begin{aligned} t^2 - 1 &= 4{,}8t; \\ t^2 - 4{,}8t - 1 &= 0. \end{aligned}\] \(-0{,}2 + 5 = 4{,}8\) и \(-0{,}2 \cdot 5 = -1\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корни этого уравнения — числа \(-0{,}2\) и \(5\).
При \(t = -0{,}2\) получаем \(x^2 + 1 = -0{,}2\) — корней нет, поскольку \(x^2 + 1 > 0\) при любом значении \(x\).
При \(t = 5\) получаем \(x^2 + 1 = 5\): \[\begin{aligned} x^2 &= 4; \\ x &= -2 \text{ или } x = 2. \end{aligned}\]
Ответ: \(-2\); \(2\).
Решите уравнение \(x^2+1-\frac{1}{x^2+1}=4{,}8\).
Так как \(x^2 + 1 > 0\) при всех \(x\), умножим обе части уравнения на \(x^2 + 1\): \[\begin{aligned} x^2 + 1 - \frac{1}{x^2 + 1} &= 4{,}8; \qquad | \cdot (x^2 + 1) \\ (x^2 + 1)^2 - 1 &= 4{,}8(x^2 + 1). \end{aligned}\] Пусть \(x^2 + 1 = t\), тогда уравнение принимает вид \[\begin{aligned} t^2 - 1 &= 4{,}8t; \\ t^2 - 4{,}8t - 1 &= 0. \end{aligned}\] Числа \(-0{,}2\) и \(5\) в сумме дают \(-0{,}2 + 5 = 4{,}8\), а их произведение равно \(-0{,}2 \cdot 5 = -1\). Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, корни получившегося уравнения — числа \(-0{,}2\) и \(5\).
При \(t = -0{,}2\) получаем уравнение \(x^2 + 1 = -0{,}2\). Это уравнение не имеет корней, поскольку \(x^2 + 1 > 0\) при любом значении \(x\).
При \(t = 5\) получаем уравнение \(x^2 + 1 = 5\). Решим его: \[\begin{aligned} x^2 &= 4; \\ x &= -2 \text{ или } x = 2. \end{aligned}\]
Ответ: \(-2\); \(2\).
