Страница 155 номер 748, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{4}{\sqrt{x}+8}\).
Множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся неравенством \(x \geqslant 0\): знаменатель \(\sqrt{x} + 8 \geqslant 8\) в нуль не обращается.
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{x} - 8\).
\((\sqrt{x} + 8)(\sqrt{x} - 8) = (\sqrt{x})^2 - 8^2 = x - 64\) — произведение сопряжённых выражений. \[\frac{4}{\sqrt{x} + 8} = \frac{4(\sqrt{x} - 8)}{(\sqrt{x} + 8)(\sqrt{x} - 8)} = \frac{4\sqrt{x} - 32}{x - 64}.\] При \(x = 64\) исходная дробь имеет смысл, а полученная — нет, поэтому равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(x \neq 64\).
Ответ: \(\frac{4\sqrt{x} - 32}{x - 64}\).
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{4}{\sqrt{x}+8}\).
Множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся неравенством \(x \geqslant 0\): знаменатель \(\sqrt{x} + 8 \geqslant 8\) в нуль не обращается.
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое выражению \(\sqrt{x} + 8\), то есть \(\sqrt{x} - 8\). Произведение сопряжённых выражений найдём по формуле разности квадратов: \((\sqrt{x} + 8)(\sqrt{x} - 8) = (\sqrt{x})^2 - 8^2 = x - 64\). Тогда: \[\frac{4}{\sqrt{x} + 8} = \frac{4(\sqrt{x} - 8)}{(\sqrt{x} + 8)(\sqrt{x} - 8)} = \frac{4\sqrt{x} - 32}{x - 64}.\] При \(x = 64\) исходная дробь имеет смысл, а полученная — нет, поэтому равенство верно при \(x \geqslant 0\) и \(x \neq 64\).
Ответ: \(\frac{4\sqrt{x} - 32}{x - 64}\).
