Страница 157 номер 781, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В водном растворе кислоты содержится 22 кг воды. После добавления 11 кг такой же кислоты концентрация кислоты в растворе повысилась на 10 %. Определите массу первоначального раствора в килограммах.
Дано:
\(22\) кг — масса воды в растворе
\(11\) кг — масса добавленной кислоты
концентрация кислоты повысилась на \(10\,\%\)
Найти: \(m\) — масса первоначального раствора.
Решение:
Пусть \(m\) кг — масса первоначального раствора, тогда \(m - 22\) кг — масса кислоты в нём, \(\frac{m - 22}{m} \cdot 100\,\%\) — её концентрация.
\(m + 11\) кг — масса раствора после добавления кислоты, \(m - 22 + 11 = m - 11\) (кг) — масса кислоты в нём, \(\frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100\,\%\) — её концентрация.
Концентрация повысилась на \(10\,\%\), то есть число процентов увеличилось на 10: \[\begin{aligned} \frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100 &= \frac{m - 22}{m} \cdot 100 + 10; \qquad | : 10 \\ \frac{m - 11}{m + 11} \cdot 10 &= \frac{m - 22}{m} \cdot 10 + 1. \end{aligned}\] Общий знаменатель — \(m(m + 11)\): \[\begin{aligned} \frac{10m(m - 11) - 10(m - 22)(m + 11) - m(m + 11)}{m(m + 11)} &= 0; \\ \frac{10m^2 - 110m - 10m^2 + 110m + 2420 - m^2 - 11m}{m(m + 11)} &= 0; \\ \frac{-m^2 - 11m + 2420}{m(m + 11)} &= 0. \end{aligned}\] Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} m^2 + 11m - 2420 = 0, \\ m(m + 11) \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: \[\begin{aligned} D &= 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2420) = 121 + 9680 = 9801; \\ m_1 &= \frac{-11 - \sqrt{9801}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 99}{2} = -55; \\ m_2 &= \frac{-11 + \sqrt{9801}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 99}{2} = 44. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют условию \(m(m + 11) \neq 0\), но масса может быть только положительной, поэтому \(-55\) не подходит: масса первоначального раствора равна 44 кг.
Проверка: \(44 - 22 = 22\) (кг) — кислоты в первоначальном растворе, её концентрация \(\frac{22}{44} \cdot 100\,\% = 50\,\%\); после добавления кислоты её стало \(22 + 11 = 33\) (кг) в \(44 + 11 = 55\) (кг) раствора, концентрация \(\frac{33}{55} \cdot 100\,\% = 60\,\%\) — на \(10\,\%\) больше, как и сказано в условии.
Ответ: 44 кг.
В водном растворе кислоты содержится 22 кг воды. После добавления 11 кг такой же кислоты концентрация кислоты в растворе повысилась на 10 %. Определите массу первоначального раствора в килограммах.
Дано:
\(22\) кг — масса воды в растворе
\(11\) кг — масса добавленной кислоты
концентрация кислоты повысилась на \(10\,\%\)
Найти: \(m\) — масса первоначального раствора.
Решение:
Обозначим массу первоначального раствора (в кг) через \(m\). Тогда масса кислоты в нём составляла \(m - 22\) кг, а её концентрация в растворе была равна \(\frac{m - 22}{m} \cdot 100\,\%\). После добавления 11 кг кислоты масса раствора стала равна \(m + 11\) кг, масса кислоты в нём — \(m - 22 + 11 = m - 11\) кг, а её концентрация — \(\frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100\,\%\). Концентрация кислоты повысилась на \(10\,\%\), то есть число процентов увеличилось на 10. Составим уравнение и разделим обе его части на 10: \[\begin{aligned} \frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100 &= \frac{m - 22}{m} \cdot 100 + 10; \qquad | : 10 \\ \frac{m - 11}{m + 11} \cdot 10 &= \frac{m - 22}{m} \cdot 10 + 1. \end{aligned}\] Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю \(m(m + 11)\): \[\begin{aligned} \frac{10m(m - 11) - 10(m - 22)(m + 11) - m(m + 11)}{m(m + 11)} &= 0; \\ \frac{10m^2 - 110m - 10m^2 + 110m + 2420 - m^2 - 11m}{m(m + 11)} &= 0; \\ \frac{-m^2 - 11m + 2420}{m(m + 11)} &= 0. \end{aligned}\] Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} m^2 + 11m - 2420 = 0, \\ m(m + 11) \neq 0. \end{cases}\] Решим квадратное уравнение \(m^2 + 11m - 2420 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2420) = 121 + 9680 = 9801; \\ m_1 &= \frac{-11 - \sqrt{9801}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 99}{2} = -55; \\ m_2 &= \frac{-11 + \sqrt{9801}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 99}{2} = 44. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(m(m + 11) \neq 0\), то есть являются решениями системы. Однако масса может быть только положительной, поэтому число \(-55\) не подходит.
Проверка: в первоначальном растворе было \(44 - 22 = 22\) (кг) кислоты, её концентрация равна \(\frac{22}{44} \cdot 100\,\% = 50\,\%\); после добавления кислоты её стало \(22 + 11 = 33\) (кг) в \(44 + 11 = 55\) (кг) раствора, концентрация равна \(\frac{33}{55} \cdot 100\,\% = 60\,\%\) — на \(10\,\%\) больше, как и сказано в условии.
Таким образом, масса первоначального раствора равна 44 кг.
Ответ: 44 кг.
