Страница 156 номер 767, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 150\) км — расстояние между городами
\(v_{\text{м}} = v_{\text{в}} + 50\) км/ч — скорость мотоциклиста (\(v_{\text{в}}\) — скорость велосипедиста)
\(t_{\text{в}} - t_{\text{м}} = 4\) ч — мотоциклист приехал раньше велосипедиста

Найти: \(v_{\text{м}}\) — скорость мотоциклиста.

Решение:

Обозначим скорость велосипедиста (в км/ч) через \(v\). Тогда скорость мотоциклиста равна \((v + 50)\) км/ч. Значит, на дорогу из города А в город Б мотоциклист затратил \(\frac{150}{v + 50}\) ч, а велосипедист — \(\frac{150}{v}\) ч. По условию мотоциклист приехал в Б на 4 часа раньше, чем велосипедист. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и разделим обе части на \(-4\): \[\begin{aligned} \frac{150}{v} - \frac{150}{v + 50} &= 4; \\ \frac{150(v + 50) - 150v - 4v(v + 50)}{v(v + 50)} &= 0; \\ \frac{-4v^2 - 200v + 7500}{v(v + 50)} &= 0; \qquad | : (-4) \\ \frac{v^2 + 50v - 1875}{v(v + 50)} &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} v^2 + 50v - 1875 &= 0; \\ D &= 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1875) = 2500 + 7500 = 10\,000; \\ v_1 &= \frac{-50 - \sqrt{10\,000}}{2} = \frac{-50 - 100}{2} = -75; \\ v_2 &= \frac{-50 + \sqrt{10\,000}}{2} = \frac{-50 + 100}{2} = 25. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-75\) и \(25\). При этих значениях знаменатель \(v(v + 50)\) не обращается в нуль, а значит, они являются корнями уравнения. Однако скорость может быть только положительной, поэтому число \(-75\) не подходит.

Таким образом, скорость велосипедиста равна 25 км/ч, а скорость мотоциклиста равна \(25 + 50 = 75\) (км/ч).

Ответ: 75 км/ч.