Страница 158 номер 792, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(\frac{1}{4-\frac{8}{2-\frac{8}{x^3+4}}}=-4x\).
Левую часть преобразуем снизу вверх при тех значениях \(x\), при которых она имеет смысл: \[2 - \frac{8}{x^3 + 4} = \frac{2(x^3 + 4) - 8}{x^3 + 4} = \frac{2x^3}{x^3 + 4}.\] Тогда \[\frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}} = 8 : \frac{2x^3}{x^3 + 4} = \frac{8(x^3 + 4)}{2x^3} = \frac{4x^3 + 16}{x^3}.\] Знаменатель левой части: \[4 - \frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}} = 4 - \frac{4x^3 + 16}{x^3} = \frac{4x^3 - 4x^3 - 16}{x^3} = -\frac{16}{x^3}.\] Следовательно, \[\frac{1}{4 - \frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}}} = 1 : \left(-\frac{16}{x^3}\right) = -\frac{x^3}{16}.\] Корни исходного уравнения — те корни уравнения \(-\frac{x^3}{16} = -4x\), при которых левая часть исходного уравнения имеет смысл: \[\begin{aligned} -\frac{x^3}{16} &= -4x; \qquad | \cdot (-16) \\ x^3 &= 64x; \\ x^3 - 64x &= 0; \\ x(x^2 - 64) &= 0; \\ x(x - 8)(x + 8) &= 0. \end{aligned}\] Значит, \(x = 0\), \(x = 8\) или \(x = -8\).
При \(x = 0\) выражение \(2 - \frac{8}{x^3 + 4}\) равно \(2 - \frac{8}{0 + 4} = 2 - 2 = 0\), то есть знаменатель дроби \(\frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}}\) обращается в нуль. Значит, 0 не является корнем исходного уравнения.
При \(x = 8\) и при \(x = -8\) знаменатель \(x^3 + 4\) равен \(516\) и \(-508\) соответственно, то есть не равен нулю. Выражение \(2 - \frac{8}{x^3 + 4} = \frac{2x^3}{x^3 + 4}\) при этих значениях не равно нулю, так как \(x^3 \neq 0\), и знаменатель \(4 - \frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}} = -\frac{16}{x^3}\) тоже не равен нулю. Значит, левая часть исходного уравнения имеет смысл, и числа \(-8\) и \(8\) — его корни.
Ответ: \(-8\); \(8\).
Решите уравнение \(\frac{1}{4-\frac{8}{2-\frac{8}{x^3+4}}}=-4x\).
Преобразуем левую часть уравнения снизу вверх при тех значениях \(x\), при которых она имеет смысл. Выполним вычитание: \[2 - \frac{8}{x^3 + 4} = \frac{2(x^3 + 4) - 8}{x^3 + 4} = \frac{2x^3}{x^3 + 4}.\] Тогда \[\frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}} = 8 : \frac{2x^3}{x^3 + 4} = \frac{8(x^3 + 4)}{2x^3} = \frac{4x^3 + 16}{x^3}.\] Продолжим преобразование знаменателя левой части: \[4 - \frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}} = 4 - \frac{4x^3 + 16}{x^3} = \frac{4x^3 - 4x^3 - 16}{x^3} = -\frac{16}{x^3}.\] Следовательно, \[\frac{1}{4 - \frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}}} = 1 : \left(-\frac{16}{x^3}\right) = -\frac{x^3}{16}.\] Значит, корнями исходного уравнения являются те корни уравнения \(-\frac{x^3}{16} = -4x\), при которых левая часть исходного уравнения имеет смысл. Решим это уравнение: умножим обе его части на \(-16\), перенесём все слагаемые в левую часть и разложим её на множители: \[\begin{aligned} -\frac{x^3}{16} &= -4x; \qquad | \cdot (-16) \\ x^3 &= 64x; \\ x^3 - 64x &= 0; \\ x(x^2 - 64) &= 0; \\ x(x - 8)(x + 8) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому \(x = 0\), \(x = 8\) или \(x = -8\).
При \(x = 0\) выражение \(2 - \frac{8}{x^3 + 4}\) равно \(2 - \frac{8}{0 + 4} = 2 - 2 = 0\), то есть знаменатель дроби \(\frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}}\) обращается в нуль. Значит, число 0 не является корнем исходного уравнения.
При \(x = 8\) и при \(x = -8\) знаменатель \(x^3 + 4\) равен \(516\) и \(-508\) соответственно, то есть не равен нулю. Выражение \(2 - \frac{8}{x^3 + 4} = \frac{2x^3}{x^3 + 4}\) при этих значениях не равно нулю, так как \(x^3 \neq 0\), и знаменатель \(4 - \frac{8}{2 - \frac{8}{x^3 + 4}} = -\frac{16}{x^3}\) тоже не равен нулю. Значит, левая часть исходного уравнения имеет смысл, и числа \(-8\) и \(8\) — его корни.
Ответ: \(-8\); \(8\).
